Interested Article - Уравнение Пелля

В математике уравнение Пелля — диофантово уравнение вида

x^{2}-ny^{2}=1,

где $n$ — натуральное число, не являющееся квадратом.

Простейшие свойства

Пары $(\pm 1,\,0)$ всегда являются решениями, называемыми тривиальными .
Ввиду симметрии достаточно найти все решения с положительными $x$ и $y$ .
Если $n$ является полным квадратом , то у уравнения нет нетривиальных решений, поскольку в левой части стоит разность двух полных квадратов, что объясняет ограничение на параметр $n$ .

Эквивалентные формулировки и связь с теорией полей

Пара $(x,y)$ является решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда норма числа $x+y{\sqrt {n}}$ в расширении $\mathbb {Q} ({\sqrt {n}})$ поля $\mathbb {Q}$ равна единице:

N(x+y{\sqrt {n}})=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})=x^{2}-ny^{2}.

В частности, решению соответствует единица кольца $\mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ . Поэтому, а также в силу мультипликативности нормы, решения можно как «умножать», так и «делить»: решениям $(x_{1},\;y_{1})$ и $(x_{2},\;y_{2})$ можно поставить в соответствие решения

(x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2},\;x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}),\quad (x_{1}x_{2}-ny_{1}y_{2},\;-x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}).

Кроме того, существование нетривиальных решений таким образом может быть выведено из теоремы Дирихле о единицах (утверждающей в данном случае, что ранг группы единиц кольца целых расширения $\mathbb {Q} ({\sqrt {n}})$ равен 1).

Связь с цепными дробями

Легко видеть, что при больших $x$ и $y$ , являющихся решениями уравнения Пелля, отношение $x/y$ должно быть близким к ${\sqrt {n}}$ . Оказывается, что верно и более сильное утверждение: такая дробь должна быть подходящей дробью для ${\sqrt {n}}$ , и имеет место следующий критерий :

Числитель и знаменатель подходящей дроби для ${\sqrt {n}}$ являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер этой подходящей дроби нечётен и сравним с $-1$ по модулю $P$ , где $P$ — период цепной дроби для ${\sqrt {n}}$ .

История

Первые упоминания о таком уравнении были найдены в работах математиков Древней Греции и Древней Индии. Общий способ решения уравнения — так называемый «циклический метод» — присутствует в работах индийского математика VII века Брахмагупты , впрочем, без доказательства, что этот метод всегда приводит к решению. В общем виде задачу сформулировал французский математик Пьер Ферма , поэтому во Франции данное уравнение называется «уравнением Ферма ». Современное же название уравнения возникло благодаря Леонарду Эйлеру , ошибочно приписавшему их авторство Джону Пеллю .