Теорема Ферма — Эйлера (другие названия — рождественская теорема Ферма , теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов ) гласит :

Любое простое число ${\displaystyle p=4n+1}$ , где ${\displaystyle n}$ — натуральное число , представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Иначе говоря, ${\displaystyle p\in \mathbb {P} ,p=4n+1,n\in \mathbb {N} \Rightarrow p=x^{2}+y^{2},}$ где ${\displaystyle p}$ — простое число.

В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма , так как она стала известна из письма Пьера Ферма , посланного 25 декабря 1640 года.

Примеры:

${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2}}$ , ${\displaystyle 13=2^{2}+3^{2}}$ , ${\displaystyle 17=1^{2}+4^{2}}$ , ${\displaystyle 29=2^{2}+5^{2}}$ , ${\displaystyle 37=1^{2}+6^{2}}$ , ${\displaystyle 41=4^{2}+5^{2}}$ .

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида ${\displaystyle 4k+3}$ не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени.

Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

История

Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году . Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну ( 1640 ), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска .

Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами . Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж , Карл Гаусс , Герман Минковский , и Дон Цагир . Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения .

Доказательства

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром :

Инволюция конечного множества ${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}}$ , определённая как

${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow {\begin{cases}(x+2z,z,y-x-z),&x<y-z\\(2y-x,y,x-y+z),&y-z<x<2y\\(x-2y,x-y+z,y),&x>2y\end{cases}}}$

имеет ровно одну неподвижную точку (которая равна ${\displaystyle (1,1,k)}$ , если ${\displaystyle p=4k+1}$ , и единственность которой следует из простоты ${\displaystyle p}$ ), так что ${\displaystyle S}$ содержит нечётное количество элементов, а значит, инволюция ${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow (x,z,y)}$ также имеет неподвижную точку.

Также существует доказательство через теорему Вильсона , придуманное Акселем Туэ .

Литература

• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР , 1960. — 375 с.
• Сендеров В., Спивак А. // Квант, № 3 (1999), стр. 14—22.
• Dickson L. E. History of the Theory of Numbers // Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares.

Примечания