Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

Предыстория

У Ньютона этот факт упоминался как т. н. принцип остановки :

Выдвинут Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах .

Формулировка

Пусть функция ${\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ имеет во внутренней точке области определения ${\displaystyle x\in M^{0}}$ локальный экстремум . Пусть также существуют односторонние производные ${\displaystyle f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})}$ конечные или бесконечные. Тогда

• если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального максимума , то

  ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})\leqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\geqslant 0;}$

• если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального минимума , то

  ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})\geqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\leqslant 0.}$

В частности, если функция ${\displaystyle f}$ имеет в ${\displaystyle x_{0}}$ производную , то

${\displaystyle f'(x_{0})=0.}$

Доказательство

Предположим, что ${\displaystyle f(x_{0})=\max _{x\in (a,b)}f(x)}$ . Тогда ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\colon f(x)\leqslant f(x_{0})}$ .

Поэтому:

${\displaystyle f'_{-}(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}-0}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)\geqslant 0,}$

${\displaystyle f'_{+}(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}+0}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)\leqslant 0.}$

Если производная ${\displaystyle f'(x_{0})}$ определена, то получаем

${\displaystyle 0\leqslant f'_{-}(x_{0})=f'(x_{0})=f'_{+}(x_{0})\leqslant 0}$ ,

то есть ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ .

Если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального минимума функции ${\displaystyle f}$ , то доказательство аналогично.

Замечание

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс . Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует наличие локального экстремума в этой точке.

Примеры

• Пусть ${\displaystyle f(x)=|x|}$ . Тогда ${\displaystyle x=0}$ — точка локального минимума, и

${\displaystyle f'_{+}(0)=1\geqslant 0}$ , ${\displaystyle f'_{-}(0)=-1\leqslant 0}$ (при этом сама функция не является дифференцируемой в точке ${\displaystyle x=0}$ ).

• Пусть ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ . Тогда ${\displaystyle x=0}$ — точка локального минимума, и

${\displaystyle f'(0)=0}$ .

• Пусть ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ . Тогда

${\displaystyle f'(0)=0}$ ,

но точка ${\displaystyle x=0}$ не является точкой локального экстремума.

См. также

• Теорема Ролля
• Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции

Примечания