Теория потенциала — раздел математики и математической физики , посвящённый изучению свойств дифференциальных уравнений в частных производных в областях с достаточно гладкой границей посредством введения специальных видов интегралов, зависящих от определённых параметров, называемых потенциалами .

Абстрактная теория потенциала — обобщение теории потенциала на абстрактные топологические пространства ; в качестве основного абстрактной теории используется понятие гармонического пространства — произвольного топологического пространства, снабжённого пучком непрерывных вещественных функций, обладающих (зафиксированными аксиоматически ) свойствами, характерными для гармонических функций .

История

Изначально возникла как часть небесной механики , изучающая свойства сил притяжения, действующих согласно закону всемирного тяготения . Основной вклад в создание и первоначальное развитие теории внесли Ньютон , Лагранж , Лежандр , Лаплас . В частности, Лагранж показал, что поле сил тяготения является потенциальным .

Начиная с Гаусса метод потенциалов начал применяться также для задач электростатики и магнетизма , в качестве потенциалов стали рассматриваться «массы» (заряды, намагниченность) произвольного знака. В рамках развития теории в XIX веке выделились основные краевые задачи: задача Дирихле , задача Неймана , задача Робена , , значительный вклад в изучение основных краевых задач в конце XIX века внесли Ляпунов и Стеклов .

Результаты теории существенно обобщены в начале XX века с использованием аппарата теории меры и обобщённых функций . Впоследствии в теории потенциалов задействованы аналитические , гармонические и функции, инструментарий теорией вероятностей .

В 1950-е годы на основе методов топологии и функционального анализа разработана аксиоматическая абстрактная теория потенциалов.

Основные виды потенциалов

Логарифмические потенциалы (двумерные потенциалы)

Потенциал площади

На плоскости объёмным логарифмическим потенциалом (или потенциалом площади) называется интеграл вида

${\displaystyle V(M)=\int \limits _{D}\rho (Q)\ln {\frac {1}{R_{QM}}}d\sigma _{Q}}$ .

Если плотность ${\displaystyle \rho (M)}$ непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является уравнения Пуассона :

${\displaystyle {\Delta }V=-{2\pi \rho }}$

Логарифмический потенциал простого слоя

В двумерном случае потенциалом простого слоя называется интеграл:

${\displaystyle V(M)=\int \limits _{C}\mu (P)\ln {\frac {1}{R_{MP}}}dl_{P}}$ ,

где ${\displaystyle C}$ — некоторая кривая.

Логарифмический потенциал двойного слоя

Потенциалом двойного слоя на плоскости называется интеграл:

${\displaystyle W(M)=-\int \limits _{C}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P}}}\ln {\frac {1}{R_{MP}}}dl_{P}}$ ,

где ${\displaystyle \mathbf {n} _{P}}$ — внешняя нормаль к кривой ${\displaystyle C}$ в точке ${\displaystyle P}$ . В случае незамкнутой кривой направление внешней нормали выбирается произвольно.

Трёхмерные потенциалы

Объёмный потенциал

Пусть в ограниченной области ${\displaystyle D}$ задана функция ${\displaystyle \rho (M)}$ , интеграл

${\displaystyle V(M)=\int \limits _{D}{\frac {\rho (Q)}{R_{QM}}}dV}$

называется объёмным потенциалом.

Функция ${\displaystyle {\frac {1}{R_{QM}}}}$ представляет собой, определённый во всех точках ${\displaystyle M\neq Q}$ потенциал единичного точечного заряда, сосредоточенного в точке ${\displaystyle Q}$ . Если в области ${\displaystyle D}$ непрерывно распределён заряд с объёмной плотностью ${\displaystyle \rho (M)}$ , то в силу принципа суперпозиции естественно предполагать, что потенциал, создаваемый данным распределением объёмного заряда, выражается вышеприведённым интегралом. Функция ${\displaystyle \rho (M)}$ называется плотностью потенциала.

Если плотность ${\displaystyle \rho (M)}$ непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является уравнения Пуассона :

${\displaystyle {\Delta }V=-{4\pi \rho }}$

Поверхностные потенциалы

Потенциал простого слоя

Потенциалом простого слоя в трёхмерном случае называется интеграл

${\displaystyle V(M)=\int \limits _{S}\mu (P){\frac {dS_{P}}{R_{MP}}},}$

где ${\displaystyle S}$ — некоторая поверхность, ${\displaystyle \mu (P)}$ — функция, заданная на поверхности ${\displaystyle S}$ , она называется плотностью потенциала простого слоя.

Свойства:

1. ${\displaystyle \Delta V(M)=0,\forall M\notin S.}$
2. ${\displaystyle V=O\left({\frac {1}{r}}\right),r\rightarrow \infty .}$
3. ${\displaystyle V\in C(\mathbb {R} ^{3})}$ , если ${\displaystyle S}$ — , плотность ${\displaystyle \mu (Q)}$ — ограничена и непрерывна.
4. Пусть ${\displaystyle S}$ — замкнутая поверхность Ляпунова , ограничивающая область ${\displaystyle D}$ , ${\displaystyle P_{0}\in S}$ , ${\displaystyle \mathbf {n} _{e}(P)}$ — внешняя нормаль к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle P\in S}$ . Тогда разрыв потенциала при переходе через поверхность ${\displaystyle S}$ определяется следующими формулами:

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(M)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(P_{0})+2\pi \mu (P_{0}),}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(M)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(P_{0})-2\pi \mu (P_{0}),}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)(M)=4\pi \mu (P_{0}).}$

Потенциал двойного слоя

Потенциалом двойного слоя в трёхмерном случае называется интеграл:

${\displaystyle W(M)=-\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P}}}{\frac {1}{R_{MP}}}dS_{P},}$

где ${\displaystyle S}$ — двусторонняя поверхность, ${\displaystyle \mathbf {n} _{P}}$ — внешняя нормаль к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle P}$ (в том случае, когда поверхность ${\displaystyle S}$ незамкнута, внешняя нормаль выбирается произвольно), ${\displaystyle \nu (P)}$ — функция, заданная на поверхности ${\displaystyle S}$ , она называется плотностью потенциала двойного слоя.

Выражение для потенциала двойного слоя также может быть переписано в виде:

${\displaystyle W(M)=\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\cos \varphi }{R_{MP}^{2}}}dS_{P},}$

где ${\displaystyle \varphi }$ — угол между внутренней нормалью к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle P}$ и вектором ${\displaystyle \mathbf {PM} }$ .

Свойства:

1. ${\displaystyle \Delta W(M)=0,\forall M\notin S.}$
2. ${\displaystyle W=O\left({\frac {1}{r^{2}}}\right),r\rightarrow \infty .}$
3. Пусть ${\displaystyle S}$ — поверхность Ляпунова . Потенциал двойного слоя с непрерывной и ограниченной плотностью ${\displaystyle |\nu (P)|\leq C}$ на поверхности ${\displaystyle S}$ существует, то есть является сходящимся несобственным интегралом при ${\displaystyle M\in S}$ .
4. Пусть ${\displaystyle S}$ — замкнутая поверхность Ляпунова , ограничивающая область ${\displaystyle D}$ , ${\displaystyle P_{0}\in S}$ . Тогда разрыв потенциала двойного слоя при переходе через поверхность ${\displaystyle S}$ определяется следующими формулами:

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}W(M)=W(P_{0})+2\pi \nu (P_{0}),}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}W(M)=W(P_{0})-2\pi \nu (P_{0}),}$

${\displaystyle \lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}W(M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}W(M)=4\pi \nu (P_{0}).}$

Примечания

Литература

• И. М. Виноградов. Гармоническое пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.) . — 1977—1985.
• Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Глава V. Уравнения эллиптического типа. Краевые задачи для уравнения Лапласа. // Лекции по математической физике. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 203. — 416 с. — ISBN 5-211-04899-7 .
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Глава IV. Уравнения эллиптического типа. // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М. : Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 348. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1 .
• Владимиров В. С. , Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .