Theorema Egregium (в переводе с латыни « замечательная теорема ») — исторически важный результат в дифференциальной геометрии , доказанный Гауссом . В современной формулировке теорема утверждает следующее:

Гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности. Иными словами, гауссова кривизна может быть определена исключительно путём измерения углов, расстояний внутри самой поверхности и не зависит от конкретной её реализации в трёхмерном евклидовом пространстве.

Существует явная формула, выражающая гауссову кривизну через первую квадратичную форму , именно, через её коэффициенты и их частные производные первого и второго порядков. Это так называемая формула Бриоски .

В некоторых частных случаях, например в полугеодезических координатах , то есть в локальных координатах с первой квадратичной формой вида

${\displaystyle du^{2}+b(u,v)dv^{2}}$

гауссовова кривизна выражается более простой формулой

${\displaystyle K=-{\tfrac {1}{b}}\cdot {\tfrac {\partial ^{2}}{\partial u^{2}}}b.}$

Для вывода теоремы этого достаточно.

Теорема следует из формулы Гаусса — Бонне , если применить её к малым геодезическим треугольникам. Однако обычно выражение для гауссововой кривизны доказывается до формулы Гаусса — Бонне.

История

Гаусс сформулировал теорему следующим образом (перевод с латыни):

Таким образом, формула из предыдущей статьи влечёт замечательную теорему .

Если криволинейная поверхность разворачивается по любой другой поверхности, то мера кривизны в каждой точке остается неизменной . Теорема «замечательна», поскольку авторское определение гауссовой кривизны использует положение поверхности в пространстве. Поэтому довольно удивительно, что результат никак не зависит от изометричной деформации.

Литература

• В. А. Топоногов . Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135 .

• А. В. Чернавский . .

• Carlo Friedrico Gauss, 1827

Примечания