Статистический критерий — математическое правило, в соответствии с которым принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с заданным уровнем значимости . Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими .

Определение

Пусть даны выборка ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ из неизвестного совместного распределения ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\mathbf {X} }}$ , и семейство статистических гипотез ${\displaystyle H_{0},H_{1},\ldots }$ . Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:

${\displaystyle f:\mathbf {X} \to \{H_{0},H_{1},\ldots \}}$ .

Таким образом, каждой реализации выборки ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу о распределении , породившем данную реализацию.

Виды критериев

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

• Критерии значимости. Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения : ${\displaystyle H_{0}:\quad a=a_{0}}$ — нулевая гипотеза . ${\displaystyle H_{1}:\quad a>a_{0}\quad (a<a_{0})}$ или ${\displaystyle a\neq a_{0}}$ — конкурирующая гипотеза.

• Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверку предположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону . Критерии согласия можно также воспринимать как критерии значимости. Критериями согласия являются:

1. Критерий Пирсона
2. Критерий Колмогорова
3. Критерий Андерсона — Дарлинга
4. Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
5. Критерий согласия Купера
6. Z-тест
7. Тест Харке — Бера
9. — не столько критерий, сколько графическая иллюстрация: точки специально построенного графика должны лежать почти на одной прямой.

• Критерии проверки на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт значимости различия их законов распределения (то есть проверки того, подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном анализе для определения наличия зависимостей.

Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может быть использован в разных качествах.

Непараметрические критерии

Группа статистических критериев, которые не включают в расчёт параметры вероятностного распределения и основаны на оперировании частотами или рангами.

• Q-критерий Розенбаума
• U-критерий Манна — Уитни
• Критерий Уилкоксона
• Критерий Пирсона
• Критерий Колмогорова — Смирнова
• Критерий Вальда-Вольфовица

Параметрические критерии

Группа статистических критериев, которые включают в расчет параметры вероятностного распределения признака ( средние и дисперсии ).

• t-критерий Стьюдента
• Критерий Фишера
• Критерий отношения правдоподобия
• Критерий Романовского

Пример статистического критерия

Пусть дана независимая выборка ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }}$ из нормального распределения ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,1),\ i=1,\ldots ,n}$ (здесь ${\displaystyle \mu }$ — неизвестный параметр). Пусть имеется две простые гипотезы:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{0}:&\mu =0,\\H_{1}:&\mu =1.\end{matrix}}}$

Тогда можно определить следующий статистический критерий:

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left\{{\begin{matrix}H_{0},&{\bar {x}}\leq 0.5\\H_{1},&{\bar {x}}>0.5,\end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}$ — выборочное среднее .

См. также

• Проверка статистических гипотез
• Статистическая значимость критерия
• Мощность критерия
• Ошибки первого и второго рода
• Факторный анализ
• Дисперсионный анализ
• Регрессионный анализ
• Receiver operating characteristic
• Распределение частот

Литература

1. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика: Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II: Непараметрические критерии. — М.: Госстандарт РФ, 2002.