U-критерий Манна — Уитни ( англ. Mann–Whitney U test ) — статистический критерий , используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

Другие названия: критерий Манна — Уитни — Уилкоксона ( англ. Mann–Whitney–Wilcoxon, MWW ), критерий суммы рангов Уилкоксона ( англ. Wilcoxon rank-sum test ) или критерий Уилкоксона — Манна — Уитни ( англ. Wilcoxon–Mann–Whitney test ). Реже: критерий числа инверсий .

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году американским химиком и статистиком Фрэнком Уилкоксоном . В 1947 году он был существенно переработан и расширен Г. Б. Манном и _fr , по именам которых сегодня обычно и называется.

Описание критерия

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума .

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

Ограничения применимости критерия

1. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
2. В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа — разные) или таких совпадений должно быть очень мало (до 10). ^{[ источник не указан 512 дней ]}

Использование критерия

Для применения U-критерия Манна — Уитни нужно произвести следующие операции.

1. Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг (при наличии повторяющихся элементов в выборке использовать средний ранг). Общее количество рангов получится равным ${\displaystyle N=n_{1}+n_{2},}$ где ${\displaystyle n_{1}}$ — количество элементов в первой выборке, а ${\displaystyle n_{2}}$ — количество элементов во второй выборке.
2. Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящих соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки ${\displaystyle R_{1}}$ , и отдельно — на долю элементов второй выборки ${\displaystyle R_{2}}$ , затем вычислить:

   ${\displaystyle U_{1}=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{1}\cdot (n_{1}+1)}{2}}-R_{1}}$ ,
   ${\displaystyle U_{2}=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{2}\cdot (n_{2}+1)}{2}}-R_{2}}$ ,
   если всё вычислено верно, то
   ${\displaystyle U_{1}+U_{2}=n_{1}\cdot n_{2}.}$ ,

3. Определить значение U-статистики Манна-Уитни по формуле ${\displaystyle U=\min\{U_{1},U_{2}\}.}$
4. По таблице для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных ${\displaystyle n_{1}}$ и ${\displaystyle n_{2}}$ . Если полученное значение ${\displaystyle U}$ меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается ). Если же полученное значение ${\displaystyle U}$ больше табличного, принимается нулевая гипотеза . Достоверность различий тем выше, чем меньше значение ${\displaystyle U}$ .
5. При справедливости нулевой гипотезы критерий имеет математическое ожидание ${\displaystyle M(U)=n_{1}n_{2}/2}$ и дисперсию ${\displaystyle D(U)=n_{1}n_{2}(n_{1}+n_{2}+1)/12}$ и при достаточно большом объёме выборочных данных ${\displaystyle (n_{1}>19,n_{2}>19)}$ распределён практически нормально.

Таблица критических значений

См. также

• Критерий Краскела — Уоллиса — обобщение U-критерия Манна — Уитни на случай нескольких выборок.

Примечания

Литература

• Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. — 1947. — № 18. — P. 50—60.
• Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. — 1945. — P. 80—83.
• Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. — Л., 1973.
• Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. — СПб. , 2002.