В эконометрике модель с распределённым лагом — это модель временного ряда , в которой в уравнение регрессии включено как текущее значение объясняющей переменной, так и значения этой переменной в предыдущих периодах.

Простейший пример модели с распределённым лагом: ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t}}$ . В более общем случае,

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+b_{2}x_{t-2}+...+b_{p}x_{t-p}+\varepsilon _{t}}$

Здесь можно говорить о краткосрочном воздействии объясняющей переменной на объясняемую ( ${\displaystyle b_{0}}$ ), а также о долгосрочном ( ${\displaystyle \sum _{i=0}^{p}b_{i}}$ ) Данная модель, в свою очередь, является частным случаем Модели авторегрессии и распределённого лага .

Примеры макроэкономических моделей, в которых важен временной лаг:

• Функция потребления
• Создание денег в банковской системе
• Связь между денежной массой и уровнем цен
• Лаг между расходами на НИОКР и производительностью
• «Кривая джей» (J-curve) связи между валютным курсом и торговым балансом
• Модель акселератора инвестиций

Причины существования лагов можно разделить на три группы:

• Технологические
• Институциональные
• Психологические

Основную сложность для эмпирической оценки модели с распределённым лагом представляет наличие мультиколлинеарности , так как в экономических данных соседние значения одного и того же ряда данных обычно высоко коррелированы друг с другом. Кроме того, не всегда возможно априори определить, сколько лаговых переменных стоит включать в модель. Существуют даже модели с бесконечным числом лаговых регрессов, коэффициенты при которых бесконечно уменьшаются (например, в геометрической прогрессии ). Существует множество специальных технологий для работы с распределенными лагами: так, метод Тинбергена и Альта представляет собой «метод большого пальца» для определения оптимального числа лаговых переменных, не внося дополнительных предпосылок в модель. Модели Койка и Алмон, напротив, вводят предпосылки относительно лаговых коэффициентов, позволяющие упростить их оценку.

Подход Тинбергена и Альта

Подход Тинбергена и Альта позволяет нащупать баланс между точностью модели (числом включенных лаговых переменных) и качеством оценки (мультиколлинеарностью). Он предполагает последовательную оценку моделей:

• ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+\varepsilon _{t}}$
• ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t}}$
• ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+b_{2}x_{t-2}+\varepsilon _{t}}$
• …

Остановка процесса рекомендуется, когда какой-либо из коэффициентов при лаговых переменных меняет знак или становится статистически незначимым, что является следствием возникновения мультиколлинеарности . Кроме того, маловероятна, но возможна такая ситуация, когда просто не будет достаточно наблюдений для дальнейшего увеличения числа лаговых переменных.

Преобразование Койка

Преобразование Койка — приём, позволяющий оценить модель с распределёнными лагами путём простого предположения о том, что коэффициенты при лаговых переменных убывают в геометрической прогрессии с увеличением лага:

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+\sum _{i=0}^{\infty }b\lambda ^{i}x_{t-i}+\varepsilon _{t}}$

В этой модели несложно найти средний лаг ${\displaystyle {\frac {\lambda }{1-\lambda }}}$ , а также медианный лаг ${\displaystyle log_{\lambda }{0.5}}$ .

Вычтя из данного уравнения уравнение для ${\displaystyle y_{t-1}}$ , умноженное на ${\displaystyle \lambda }$ , получаем простую модель:

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+bx_{t}+\lambda y_{t-1}+\varepsilon _{t}-\lambda \varepsilon _{t-1}}$

Эта модель легко может быть оценена обычным методом наименьших квадратов без потери степеней свободы. Здесь, однако, существует автокорреляция случайного члена ( ${\displaystyle \varepsilon _{t}-\lambda \varepsilon _{t-1}}$ c ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}-\lambda \varepsilon _{t-2}}$ ), и, что хуже, случайный член коррелирует с объясняющей переменной ${\displaystyle y_{t-1}}$ . Поэтому для оценки модели рекомендуется использовать метод инструментальных переменных или оценивать исходную модель с помощью нелинейного метода наименьших квадратов.

Преобразование Койка иллюстрирует взаимосвязь моделей с распределённым лагом и авторегрессионных моделей. Модели Койка соответствуют два широко применяемых теоретических подхода к распределённым лагам: модель адаптивных ожиданий и модель частичной подстройки (partial/stock adjustment).

Модель адаптивных ожиданий

Предполагается, что зависимая переменная является функцией от ожидаемого значения объясняющей переменной. Это характерно, например, для моделей инфляции .

${\displaystyle y_{t}=b_{0}+b_{1}x_{t}^{e}+\varepsilon _{t}}$

Ожидания же формируются как средневзвешенное из предыдущих ожиданий и текущего значения переменной:

${\displaystyle x_{t}^{e}=(1-\lambda )x_{t-1}^{e}+\lambda x_{t}}$

Алгебраические манипуляции приводят к построению модели, по форме совпадающей с моделью Койка:

${\displaystyle y_{t}=\lambda b_{0}+\lambda b_{1}x_{t}+(1-\lambda )y_{t-1}+(\varepsilon _{t}-(1-\lambda )\varepsilon _{t-1})}$

Модель частичной подстройки

Модель частичной подстройки предполагает наличие долгосрочной зависимости:

${\displaystyle y_{t}^{*}=b_{0}+b_{1}x_{t}+\varepsilon _{t}}$

Это характерно, например, для моделей экономического роста, где потенциальный выпуск определяется спросом. Однако объясняемая переменная не может моментально подстроиться под изменения объясняющей:

${\displaystyle y_{t}-y_{t-1}=\delta (y_{t}^{*}-y_{t-1})}$

Таким образом, принципиальное различие моделей частичной подстройки и адаптивных ожиданий состоит в том, какая переменная изменяется не мгновенно: объясняемая или объясняющая. Однако функциональная форма у них схожая: после преобразований, получим

${\displaystyle y_{t}=\delta b_{0}+\delta b_{1}x_{t}+(1-\delta )y_{t-1}+\delta \varepsilon _{t}}$

Можно заметить, что здесь, в отличие от модели адаптивных ожиданий, нет корреляции ошибок друг с другом и с объясняющей переменной. Однако выбор модели , конечно, должен объясняться не удобством её оценки, а теоретическими предпосылками, лежащими в основе исследуемого явления.

Лаги Алмон

Оценивая модель ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+\sum _{i=0}^{p}b_{i}x_{t-i}+\varepsilon _{t}}$ , можно предположить, что коэффициент при лаговой переменной меняется в некотором смысле плавно, и приблизить его с помощью многочлена: ${\displaystyle b_{i}=c_{0}+\sum _{j=1}^{q}c_{j}i^{j}}$ . Линейное преобразование переменных позволяет оценить модель с помощью обычного МНК, причём число степеней свободы, естественно, будет больше, чем при оценке ${\displaystyle b_{i}}$ по отдельности, если только q<p.

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+\sum _{i=0}^{p}(c_{0}+\sum _{j=1}^{q}c_{j}i^{j})x_{t-i}+\varepsilon _{t}=a_{0}+c_{0}(\sum _{i=1}^{p}x_{t-i})+\sum _{j=1}^{q}c_{j}(\sum _{i=1}^{p}x_{t-i}i^{j})+\varepsilon _{t}=a_{0}+c_{0}z_{0}+\sum _{j=1}^{q}c_{j}z_{j}+\varepsilon _{t}}$

Налагая различные ограничения (максимальная степень, начальные и конченые условия)на многочлены, можно сконструировать наиболее удовлетворительную модель. Однако такой подход оставляет место для ошибок спецификации и субъективной подгонки моделей, так как статистического способа определить необходимую форму многочлена не существует.