Критерий Фридмана ( англ. Friedman test ) — непараметрический статистический тест , разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом . Является обобщением критерия Уилкоксона и применяется для сопоставления ${\displaystyle c}$ условий измерения ( ${\displaystyle c\geqslant 3}$ ) для ${\displaystyle n}$ объектов (испытуемых) с по индивидуальным значениям измерений . Непараметрический аналог дисперсионного анализа с повторными измерениями ANOVA .

Задача

Дана выборка из ${\displaystyle c}$ измерений для каждого из ${\displaystyle n}$ испытуемых, которую можно представить в виде таблицы :

	Условия
№ объекта	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle x_{11}}$	${\displaystyle x_{21}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{c1}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle x_{12}}$	${\displaystyle x_{22}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{c2}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle n}$	${\displaystyle x_{1n}}$	${\displaystyle x_{2n}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{cn}}$

В качестве нулевой гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ рассматривается следующая: «между полученными в разных условиях измерениями имеются лишь случайные различия» . Выбирается уровень значимости ${\displaystyle \alpha }$ , например, ${\displaystyle \alpha =0,01}$ ( вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу).

Проверка гипотезы

Для начала получим таблицу рангов по строкам, при котором получаем ранги ${\displaystyle r_{ij}}$ объекта ${\displaystyle x_{ij}}$ при ранжировке ${\displaystyle x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{cj}}$ :

	Ранги
№ объекта	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle r_{11}}$	${\displaystyle r_{21}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle r_{c1}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle r_{12}}$	${\displaystyle r_{22}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle r_{c2}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle n}$	${\displaystyle r_{1n}}$	${\displaystyle r_{2n}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle r_{cn}}$

Получим суммы рангов и введём другие обозначения:

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}}$

${\displaystyle {\bar {R}}_{i}={\frac {R_{i}}{n}}}$

${\displaystyle {\bar {\bar {R}}}={\frac {c+1}{2}}}$

Для проверки гипотезы будем использовать эмпирическое значение критерия — статистику :

${\displaystyle S={\frac {12n}{c(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}({\bar {R}}_{i}-{\bar {\bar {R}}})^{2}}$ ,

которую можно записать также в виде:

${\displaystyle S={\frac {12}{nc(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}R_{i}^{2}-3n(c+1)}$

Нулевая гипотеза принимается, если критическое значение критерия превосходит эмпирическое:

${\displaystyle S<S_{\alpha }(n,c)}$

Для малых значений ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle c}$ для критического значения Фридмана существуют таблицы для разных значений уровня значимости ${\displaystyle \alpha }$ (или доверительной вероятности ${\displaystyle 1-\alpha }$ ).

При ${\displaystyle n\geqslant 13}$ и ${\displaystyle c\geqslant 20}$ применима аппроксимация — ${\displaystyle \alpha }$ - квантиль распределения хи-квадрат с ${\displaystyle c-1}$ степенями свободы :

${\displaystyle S_{\alpha }(n,c)\approx \chi _{\alpha }^{2}(c-1)}$

Для некоторых малых значений статистику можно преобразовать для аппроксимации ${\displaystyle \alpha }$ - или применить .

Примеры

Классические примеры применения:

• ${\displaystyle n}$ дегустаторов оценивают различные сорта вин. Имеют ли вина значимые отличия?
• Сварные швы, сделанные ${\displaystyle n}$ сварщиками с использованием ${\displaystyle c}$ сварочных горелок, были оценены по качеству. Есть ли отличия в качестве у какой-либо из горелок?

Апостериорный анализ

Апостериорный анализ ( англ. post-hoc analysis ) был предложен Шайхом и Хамерли (1984) , а также Коновер (1971, 1980) для определения того, какие условия существенно отличаются друг от друга, на основании различия их средних рангов .

Программная реализация

Тест Фридмана содержится во многих пакетах программ для статистической обработки данных ( SPSS , R и других ).

Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но программный код можно найти, например, для SPSS и R .

Примечания

Литература

• Афанасьев В. В., Сивов М. А. . — Ярославль: Издательство ЯГПУ, 2010. — С. -65. — 76 с. — ISBN 978-5-87555-366-0 .
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. — М. : Физматлит , 2006. — С. 484-486. — 816 с. — ISBN 5-9221-0707-0 .
• Myles Hollander, Douglas A. Wolfe. . — New York: John Wiley & Sons, 1973. — 503 с. — P. –146. — ISBN 9780471406358 .
• Friedman, Milton . The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance (англ.) // Journal of the American Statistical Association : journal. — American Statistical Association, 1937. — December ( vol. 32 , no. 200 ). — P. 675—701 . — doi : . — JSTOR .
• Friedman, Milton. A correction: The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance (англ.) // Journal of the American Statistical Association : journal. — American Statistical Association, 1939. — March ( vol. 34 , no. 205 ). — P. 109 . — doi : . — JSTOR .
• Friedman, Milton. A comparison of alternative tests of significance for the problem of m rankings (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1940. — March ( vol. 11 , no. 1 ). — P. 86—92 . — doi : . — JSTOR .