Направленность ( направление , сеть ) — обобщение понятия последовательности применяемое главным образом в топологии позволяет нужным образом обобщить понятие предела последовательности.

Направленностью в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ называется всякое отображение из некоторого направленного по возрастанию множества ${\displaystyle \mathrm {A} }$ в ${\displaystyle X}$ . Обозначения: ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$ или просто ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$ .

Всякую последовательность можно рассматривать как направленность, в этом случае роль направленного множества играет множество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ .

Более содержательный пример направленности строится с использованием окрестностей точки в качестве индексов. Для некоторой точки ${\displaystyle x}$ топологического пространства рассматривается семейство ${\displaystyle B_{x}}$ всех её окрестностей. Отношение включения задает на ${\displaystyle B_{x}}$ структуру направленного множества: окрестности ${\displaystyle U,V\in B_{x}}$ упорядочены как ${\displaystyle U\geqslant V}$ , если ${\displaystyle U\subset V}$ . Каждой окрестности ${\displaystyle U\in B_{x}}$ сопоставляется ее произвольная точка ${\displaystyle x_{U}\in U}$ , такое отображение ${\displaystyle U\mapsto x_{U}}$ является направленностью.

Связанные определения

Предел направленности

Направленность ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$ называется сходящейся к точке ${\displaystyle x}$ , если для любой окрестности ${\displaystyle V}$ точки ${\displaystyle x}$ существует индекс ${\displaystyle \alpha _{V}\in \mathrm {A} }$ такой, что ${\displaystyle x_{\alpha }\in V}$ для всякого ${\displaystyle \alpha \geqslant \alpha _{V}}$ . Точка ${\displaystyle x}$ называется пределом направленности ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$ и обозначается ${\displaystyle x_{\alpha }{\xrightarrow[{\mathrm {A} }]{}}x}$ .

Множество всех пределов направленности ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$ обозначается как ${\displaystyle \lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha }}$ . Если направленность имеет ровно один предел ${\displaystyle x}$ , то пишут ${\displaystyle x=\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha }}$

Если топологическое пространство хаусдорфово , то каждая сходящаяся направленность имеет ровно один предел. Верно и обратное: если каждая сходящаяся направленность имеет ровно один предел, то пространство хаусдорфово.

Понятие предела направленности тесно связано с понятием точки прикосновения : точка является точкой прикосновения множества тогда и только тогда, когда существует сходящаяся к этой точке направленность элементов этого множества.

Поднаправленность

Понятие подпоследовательности можно обобщить на направленности. Направленность ${\displaystyle \left\{y_{\beta }\right\}_{\beta \in \mathrm {B} }}$ называется поднаправленностью ( более тонкой направленностью ) направленности ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$ , если для любого ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {A} }$ найдётся такой индекс ${\displaystyle \beta (\alpha )\in \mathrm {B} }$ , что для всякого ${\displaystyle \beta '\geqslant \beta (\alpha )}$ найдется ${\displaystyle \alpha '\geqslant \alpha }$ , удовлетворяющий равенству ${\displaystyle x_{\alpha '}=y_{\beta '}}$ .

Каждая последовательность обладает поднаправленностью, которая сама последовательностью не является.

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М. : Мир , 1986. — 752 с.
• Л. В. Канторович , Г. П. Акилов . Функциональный анализ. — М. : Наука, 1984. — 752 с.