Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots }$ .

Ряд назван гармоническим , так как складывается из «гармоник» : ${\displaystyle k}$ -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон , производимый струной длиной ${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$ от длины исходной струны . Кроме того, каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов.

Суммы первых n членов ряда (частичные суммы)

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. Частичная сумма n первых членов гармонического ряда называется n -м гармоническим числом :

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

Разница между ${\displaystyle n}$ -м гармоническим числом и натуральным логарифмом ${\displaystyle n}$ сходится к постоянной Эйлера — Маскерони ${\displaystyle \gamma =0{,}5772...}$ .

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме ${\displaystyle H_{1}=1}$ , не является целым: ${\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\notin \mathbb {N} }$ .

Некоторые значения частичных сумм

${\displaystyle H_{1}=1}$
${\displaystyle H_{2}={\frac {3}{2}}=1{,}5}$
${\displaystyle H_{3}={\frac {11}{6}}\approx 1{,}833}$
${\displaystyle H_{4}={\frac {25}{12}}\approx 2{,}083}$
${\displaystyle H_{5}={\frac {137}{60}}\approx 2{,}283}$
${\displaystyle H_{6}={\frac {49}{20}}=2{,}45}$
${\displaystyle H_{7}={\frac {363}{140}}\approx 2{,}593}$
${\displaystyle H_{8}={\frac {761}{280}}\approx 2{,}718}$
${\displaystyle H_{10^{3}}\approx 7{,}485}$
${\displaystyle H_{10^{6}}\approx 14{,}393}$

Формула Эйлера

В 1740 году Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых ${\displaystyle n}$ членов ряда:

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +\varepsilon _{n}}$ ,

где ${\displaystyle \gamma =0{,}5772...}$ — постоянная Эйлера — Маскерони , а ${\displaystyle \ln }$ — натуральный логарифм .

При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ значение ${\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0,}$ следовательно, для больших ${\displaystyle n}$

${\displaystyle H_{n}\approx \ln n+\gamma }$ — формула Эйлера для суммы первых ${\displaystyle n}$ членов гармонического ряда.

Пример использования формулы Эйлера

${\displaystyle n}$	${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$	${\displaystyle \ln n+\gamma }$	${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ , (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

${\displaystyle H_{n}\asymp \ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}\dots =\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k\,n^{2k}}},}$ где ${\displaystyle B_{2k}}$ — числа Бернулли .

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена ^{[ источник не указан 1955 дней ]} .

Расходимость ряда

Гармонический ряд расходится : ${\displaystyle s_{n}\rightarrow \infty }$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty ,}$ однако очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1.5*10 ⁴³ элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его со следующим телескопическим рядом , который получается из логарифмирования ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e}$ :

${\displaystyle v_{n}=\ln(n+1)-\ln n=\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)<{\frac {1}{n}}.}$

Частичная сумма этого ряда, очевидно, равна ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}=\ln(n+1).}$ Последовательность таких частичных сумм расходится; следовательно, по определению телескопический ряд расходится, но тогда из признака сравнения рядов следует, что гармонический ряд тоже расходится.

Доказательство через предел последовательности частичных сумм

Рассмотрим последовательность ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.}$ Покажем, что эта последовательность не является фундаментальной , то есть, что ${\displaystyle \exists \varepsilon >0:\forall k\in \mathbb {N} \ \exists n>k,\exists p\in \mathbb {N} :\left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert \geq \varepsilon .}$ Оценим разность ${\displaystyle \left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert ={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}\geq {\frac {1}{n+p}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}={\frac {p}{n+p}}.}$ Пусть ${\displaystyle p\doteq n.}$ Тогда ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\left\vert H_{2n}-H_{n}\right\vert \geq {\frac {1}{2}}.}$ Следовательно, данная последовательность не является фундаментальной и по критерию Коши расходится. Тогда по определению ряд также расходится.

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, если сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, в котором знаменатели дополнены до степени двойки. Этот ряд группируется, и получается третий ряд, который расходится:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}}$

(Группировка сходящихся рядов всегда дает сходящийся ряд, а значит если после группировки получился ряд расходящийся, то и исходный тоже расходится.)

Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Связанные ряды

Обобщённый гармонический ряд

Обобщённым гармоническим рядом (частный случай ряда Дирихле ) называют ряд

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}+\cdots }$ .

Этот ряд расходится при ${\displaystyle \alpha \leqslant 1}$ и сходится при ${\displaystyle \alpha >1}$ .

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка ${\displaystyle \alpha }$ равна значению дзета-функции Римана :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=\zeta (\alpha )}$

Для целых чётных показателей это значение явно выражается через число пи — например, сумма ряда обратных квадратов ${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ . Но уже для α =3 его значение ( константа Апери ) аналитически неизвестно.

Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение ${\displaystyle \zeta (1+{\frac {1}{n}})\sim n.}$

Знакопеременный ряд

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots }$

сходится по признаку Лейбница . Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью . Его сумма равна натуральному логарифму 2:

${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.}$

Эта формула — частный случай ряда Меркатора , то есть ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \;\;=\;\;{\frac {\pi }{4}}.}$

Это соотношение известно как ряд Лейбница .

Случайный гармонический ряд

В 2003 году изучены свойства случайного ряда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$

где ${\displaystyle s_{n}}$ — независимые , одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1 , и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности , вычисленная в точках +2 или −2, имеет значение:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642…,

отличаясь от ⅛ на менее чем 10 ⁻⁴² .

«Истончённый» гармонический ряд

См.

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшийся ряд сходится, и его сумма меньше 80 . Позже была найдена более точная оценка, ряд Кемпнера сходится к ${\displaystyle 22{,}92067661926415034816}$ (последовательность в OEIS ). Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Из этого можно сделать ошибочное заключение о сходимости исходного гармонического ряда, что не верно, поскольку с ростом разрядов в числе ${\displaystyle n}$ всё меньше слагаемых берётся для суммы «истончённого» ряда. То есть, в конечном счёте отбрасывается подавляющее большинство членов, образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

Примечания