Interested Article - Алгебра Кэли

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел , 8- мерная алгебра над полем вещественных чисел . Обычно обозначается , поскольку её элементы ( числа Кэли ) называются иногда октонионами или октавами .

Впервые рассмотрена в 1843 году , приятелем Уильяма Гамильтона , а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли .

Число Кэли — это линейная комбинация элементов . Каждая октава может быть записана в форме:

с вещественными коэффициентами . Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн .

Таблицы умножения

Таблица умножения элементов октавы:

1 i ( e1 ) j ( e2 ) k ( e3 ) l ( e4 ) il ( e5 ) jl ( e6 ) kl ( e7 )
i ( e1 ) −1 k j il l kl jl
j ( e2 ) k −1 i jl kl l il
k ( e3 ) j i −1 kl jl il l
l ( e4 ) il jl kl −1 i j k
il ( e5 ) l kl jl i −1 k j
jl ( e6 ) kl l il j k −1 i
kl ( e7 ) jl il l k j i −1
Плоскость Фано для мнемонического запоминания таблицы умножения

Таблица (Кэли) умножения октонионов :

e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7
e 1 −1 e 3 −e 2 e 5 −e 4 −e 7 e 6
e 2 −e 3 −1 e 1 e 6 e 7 −e 4 −e 5
e 3 e 2 −e 1 −1 e 7 −e 6 e 5 −e 4
e 4 −e 5 −e 6 −e 7 −1 e 1 e 2 e 3
e 5 e 4 −e 7 e 6 −e 1 −1 −e 3 e 2
e 6 e 7 e 4 −e 5 −e 2 e 3 −1 −e 1
e 7 −e 6 e 5 e 4 −e 3 −e 2 e 1 −1

Иногда заменяются буквенным обозначением:

Номер 1 2 3 4 5 6 7
Буквы i j k l il jl kl
Замена i j k l m n o

Свойства

По теореме Фробениуса алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля .

Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной .

Для октониона операция определена равенством:

.

Сопряжение удовлетворяет равенствам:

и

Вещественная часть октониона определена равенством:

,

мнимая часть:

.

Норма октониона : ; тогда и только тогда, когда . Из определения нормы следует, что октонион обратим и

.

Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений.

Примечания

  1. (HTML) (26 января 2003). Дата обращения: 4 октября 2009. Архивировано из 27 февраля 2012 года.
  2. от 5 мая 2010 на Wayback Machine (недоступная ссылка с 19-05-2013 [3893 дня] — ) (англ.) . Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010.
    (недоступная ссылка) на yahoo.com, от 6 мая 2010 на Wayback Machine на scientific.ru.
  3. Антисимметрия по диагонали для −1

Литература

  • Джон Баэс . от 4 марта 2016 на Wayback Machine // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, № 1(5), Vol 3(2006), с.120-176.
Источник —

Same as Алгебра Кэли