Interested Article - Гипервещественное число
![](/images/005/335/5335904/1.jpg?rand=998328)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/fa27ef3ef6570e32a79e74deca7c1bc3.jpg)
- 2020-10-19
- 2
![](/images/005/335/5335904/1.jpg?rand=229866)
Гипервещественные числа ( гипердействительные числа ) — расширение поля вещественных чисел , которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы .
Термин «гипервещественное число» ( англ. hyper-real number ) был предложен американским математиком в 1948 году . Теорию поля гипервещественных чисел как расширения поля вещественных чисел опубликовал в 1960-е годы Абрахам Робинсон , который назвал её « нестандартным анализом ». Робинсон также доказал непротиворечивость этой теории (точнее, свёл проблему к непротиворечивости вещественных чисел).
Теория гипервещественных чисел даёт строгий подход к исчислению бесконечно больших и бесконечно малых величин, которые в этом случае, в отличие от стандартного анализа, являются не переменными, а постоянными, то есть числами. В нестандартном анализе на современной основе реабилитируется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании актуальных бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины . Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть — (бесконечно малый) элемент объёма…» .
Формальное определение
Множество гипервещественных чисел представляет собой неархимедово упорядоченное поле , расширение поля вещественных чисел , которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы . Каждое такое число бесконечно велико , а обратное ему бесконечно мало́ .
Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического принципа непрерывности Лейбница . Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об справедливы и для . Например, правило коммутативности сложения справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955). Свойства арифметических операций с гипервещественными числами в основном такие же, как у вещественных.
Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому , который использовал для их исчисления метод исчерпывания . В 1961 году А. Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества ( упорядоченного неархимедового поля), содержащего бесконечно малые и бесконечно большие элементы в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века .
Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом . Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производная и интеграл напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, определение производной из аналитического становится чисто арифметическим:
для бесконечно малого , где означает стандартную часть числа , которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.
Поле гипервещественных чисел
Поле гипервещественных чисел состоит из трёх частей :
- отрицательные бесконечные числа,
- конечные числа,
- положительные бесконечные числа.
Конечные числа, в свою очередь, можно разделить на две категории: обычные вещественные и нестандартные . Каждое нестандартное конечное число может быть однозначно представлено в виде: где — вещественное число, а — бесконечно малая (положительная или отрицательная). При получается множество бесконечно малых. Таким образом, каждое вещественное число оказывается как бы окутано аурой ( монадой ) своих гипервещественных двойников, бесконечно к нему близких .
Алгебраическая структура
Положим, что является тихоновским пространством , которое также называется -пространством, а — алгебра непрерывных вещественных функций на . Пусть есть максимальный идеал в . Тогда факторкольцо , является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрено как линейно упорядоченное множество . Если строго содержит , то называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта, 1948), а — гипервещественным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля больше, чем у поля , они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.
Важный частный случай — если пространство является дискретным пространством , в этом случае можно отождествить с мощностью множества , и с вещественной алгеброй функций от . Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии .
Примечания
- Hewitt, Edwin (1948). . Trans. Amer. Math. Soc . 64 : 45—99. doi : .
- См., например: Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М.: Высшая школа, 1999, С. 128 и далее.
- Панов В. Ф. Математика древняя и юная. — Изд. 2-е, исправленное. — М. : МГТУ им. Баумана , 2006. — С. 548—553. — 648 с. — ISBN 5-7038-2890-2 .
- , с. 20.
- , с. 19—21.
Литература
- Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. . — Новосибирск: Институт математики, 2006.
- Дэвис М. Прикладной нестандартный анализ. — М. : Мир, 1980.
- Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ. — М. : Наука, 1987.
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/fa27ef3ef6570e32a79e74deca7c1bc3.jpg)
- 2020-10-19
- 2