Область значений (или множество значений ) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция .

Определение

Пусть на множестве ${\displaystyle X}$ задана функция ${\displaystyle f}$ , которая отображает множество ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ , то есть: ${\displaystyle f:X\to Y}$ . Тогда областью (или множеством ) значений функции ${\displaystyle f}$ называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества ${\displaystyle Y}$ и обозначается ${\displaystyle f(X)}$ , ${\displaystyle E(f)}$ , ${\displaystyle R(f)}$ или ${\displaystyle \mathrm {ran} \,f}$ (от англ. range ):

${\displaystyle f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}}$ .

Способы нахождения областей значений некоторых функций

• последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
• метод оценок;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• использование производной;
• использование наибольшего и наименьшего значений функции;
• графический метод;
• метод введения параметра;
• метод обратной функции.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называется её кодомен, то есть множество ${\displaystyle Y}$ в обозначении функции ${\displaystyle f:X\to Y}$ , а множеством значений функции называется совокупность всех значений ${\displaystyle f(X)}$ функции ${\displaystyle f}$ .

Множество значений ${\displaystyle f(X)}$ называется также образом множества ${\displaystyle X}$ при отображении ${\displaystyle f}$ .

Иногда множество значений функции называют областью изменения функции .

См. также

• Область определения функции

Примечания

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. . В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• , Л. Л. Максимова . Часть I. Теория множеств // . — 3-е изд. . — М. : Физматлит, 1995. — С. — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X .
• А. Н. Колмогоров , С. В. Фомин . Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд. . — М. : Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
• . Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд. . — М. : Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
• В. А. Зорич . Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М. : Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
• А. Н. Колмогоров . // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М. : «Наука» , 1970. — № 1 . — С. 27-36 . — ISSN .