Теоре́ма о запре́те клони́рования — утверждение квантовой теории о невозможности создания идеальной копии произвольного неизвестного квантового состояния . Теорема была сформулирована Вуттерсом, Зуреком и Диэксом в 1982 году и имела огромное значение в области квантовых вычислений , квантовой теории информации и смежных областях.

Состояние одной квантовой системы может быть запутанным с состоянием другой системы. Например, создать запутанное состояние двух кубитов можно с помощью однокубитного преобразования Адамара и двухкубитного квантового вентиля C-NOT . Результатом такой операции не будет клонирование, поскольку результирующее состояние нельзя описать на языке состояний подсистем (состояние является нефакторизуемым). Клонирование — это такая операция, в результате которой создается состояние, являющееся тензорным произведением идентичных состояний подсистем.

Доказательство

Пусть мы хотим создать копию системы A , которая находится в состоянии ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ (см. обозначения Дирака ). Для этого возьмем систему B с тем же самым гильбертовым пространством , находящуюся в начальном состоянии ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ . Начальное состояние, конечно, не должно зависеть от состояния ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ , поскольку это состояние нам неизвестно. Составная система A + B описывается тензорным произведением состояний подсистем:

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}\equiv |\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}.}$

С составной системой можно произвести два различных действия.

1. Мы можем измерить её состояние, что приведет к необратимому переходу системы в одно из собственных состояний измеряемой наблюдаемой и к (частичной) потере информации об исходном состоянии системы A . Очевидно, такой сценарий нам не подходит.
2. Другая возможность заключается в применении унитарного преобразования U , должным образом «настраивая» гамильтониан системы. Оператор U будет клонировать состояние системы, если

${\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}}$

и ${\displaystyle U|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}}$

для всех ${\displaystyle |\phi \rangle }$ и ${\displaystyle |\psi \rangle .}$

Согласно определению унитарного оператора, U сохраняет скалярное произведение:

${\displaystyle \langle e|_{B}\langle \phi |_{A}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{B}\langle \phi |_{A}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B},}$

то есть

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.}$

Из этого следует, что либо ${\displaystyle |\phi \rangle =|\psi \rangle ,}$ либо состояния ${\displaystyle |\phi \rangle }$ и ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ортогональны (что в общем случае, конечно, неверно). Таким образом, операция U не может клонировать произвольное квантовое состояние.

Теорема о запрете клонирования доказана.

Неточное копирование

Хотя создание точных копий неизвестного квантового состояния невозможно, можно тиражировать его неточные копии. Для этого нужно привести исходную систему во взаимодействие с большей вспомогательной системой и провести специальное унитарное преобразование комбинированной системы, в результате которого несколько компонентов большей системы станут приблизительными копиями исходной. Такой процесс может быть использован для атаки на квантовые криптографические системы, а также для других целей в квантовых вычислениях.

См. также

• Квантовая телепортация
• Квантовая запутанность
• Квантовый компьютер
• Квантовая криптография
• Квантовые деньги

Литература

• Wootters W. , (англ.) // Nature / — NPG , Springer Science+Business Media , 1982. — Vol. 299. — P. 802—803. — ISSN ; —
• (англ.) // — Elsevier BV , 1982. — Vol. 92, Iss. 6. — P. 271—272. — ISSN ; —
• , , (англ.) : Beyond the No-Cloning Theorem // : covering atomic, molecular, and optical physics and quantum information — College Park: American Physical Society , 1996. — Vol. 54, Iss. 3. — P. 1844—1852. — ISSN ; ; — — —
• , , , (англ.) // Reviews of Modern Physics / , — APS , 2005. — Vol. 77, Iss. 4. — P. 1225—1256. — ISSN ; ; — —
• Бауместер, Д. Физика квантовой информации  / Д. Бауместер, А. Экерт, А. Цайлингер. — М. : Постмаркет, 2002. — 376 с.
• Нильсен, М. Квантовые вычисления и квантовая информация / М. Нильсен, И. Чанг. — М. : Мир, 2006. — 824 с.
• Прескилл, Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. — Ижевск : РХД, 2008. — Т. 1. — 464 с. — ISBN 978-5-93972-651-1 .