Теорема Риса — Торина — утверждение о свойствах интерполяционных пространств . Была сформулирована в 1926 году Марселем Рисом , и в операторной форме сформулирована и доказана в 1939 году .

Согласно теореме, для двух пространств ${\displaystyle (\Omega _{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}$ и ${\displaystyle (\Omega _{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}$ с мерами ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ соответственно и двух банаховых пространств комплекснозначных функций ${\displaystyle L_{p}(\Omega _{i})}$ , суммируемых с ${\displaystyle p}$ -й степенью ${\displaystyle (p\geqslant 1)}$ по мерам ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2)}$ , тройка банаховых пространств ${\displaystyle (L_{p_{0}}(\Omega _{1}),L_{p_{1}}(\Omega _{1}),L_{p}(\Omega _{1}))}$ является нормально интерполяционной типа ${\displaystyle \alpha }$ относительно тройки ${\displaystyle (L_{q_{0}}(\Omega _{2}),L_{q_{1}}(\Omega _{2}),L_{q}(\Omega _{1}))}$ , если:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {1-\alpha }{p_{0}}}+{\frac {\alpha }{p_{1}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1-\alpha }{q_{0}}}+{\frac {\alpha }{q_{1}}}}$ ,

где ${\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1}$ . (Тройка банаховых пространств ${\displaystyle (A,B,E)}$ является интерполяционной типа ${\displaystyle \alpha }$ , где ${\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1}$ , относительно тройки ${\displaystyle (C,D,F)}$ , если она интерполяционна и выполнено неравенство ${\displaystyle \|T\|_{E\rightarrow F}\leqslant c\|T\|_{A\rightarrow C}^{1-\alpha }\|T\|_{B\rightarrow D}^{\alpha }}$ .)

Доказательство теоремы использует теорему о трёх прямых из теории аналитических функций .

Примечания

Литература

• Крейн С. Г. , Петунин Ю. И. , Интерполяция линейных операторов. — М. : Наука, 1978. — 400 с.
• Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. — М. : Мир, 1980. — 264 с.