Interested Article - Функция ошибок

График функции ошибок

Функция ошибок (также называемая функция ошибок Гаусса) — неэлементарная функция , возникающая в теории вероятностей , статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных . Она определяется как

.

Дополнительная функция ошибок , обозначаемая (иногда применяется обозначение ), определяется через функцию ошибок:

.

Комплексная функция ошибок , обозначаемая , также определяется через функцию ошибок:

.

Свойства

  • Для любого комплексного выполняется
где черта обозначает комплексное сопряжение числа .
  • Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции , но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного , так и на всей комплексной плоскости , согласно признаку Д’Аламбера . Последовательность знаменателей образует последовательность в OEIS .
  • Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:
поскольку — сомножитель, превращающий -й член ряда в -й, считая первым членом .
  • Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:
  • При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка будет для неё существенно особой.
  • Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции; она равна удвоенной функции Гаусса с медианой μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1 2 :


  • Обратная функция ошибок представляет собой ряд
где c 0 = 1 и
Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):
Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — и в OEIS; последовательность числителей до сокращения — в OEIS.
Дополнительная функция ошибок

Применение

Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением , то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на , равна .

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение

При больших полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

Хотя для любого конечного этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

где

Аппроксимации

Аппроксимация дополнительной функции ошибок, имеющая относительную погрешность в пределах 1.2×10 -7 , реализована в :

где при , и при . При эта формула даёт недопустимые значения выше единицы, поэтому её нельзя использовать для оценки функции при малых x .

Аппроксимация функции ошибок даётся формулой

где . Относительная погрешность этой аппроксимации не превосходит , а обратная к ней функция выражается аналитически :

Относительная погрешность последней формулы лежит в пределах до 0.002 для всех ненулевых значений .

Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с функцией Лапласа функцией нормального интегрального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, обозначаемой

Обратная функция к , известная как , иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера , а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция ( ):

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля . В терминах и ,

Обобщённые функции ошибок

График обобщённых функций ошибок :
серая линия:
красная линия:
зелёная линия:
синяя линия:
жёлтая линия: .

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

Примечательными частными случаями являются:

  • — прямая линия, проходящая через начало координат:
  • — функция ошибок .

После деления на все с нечётными выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про с чётными . Все обобщённые функции ошибок с выглядят похоже на полуоси .

На полуоси все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию :

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

,
для .

Их можно разложить в ряд:

откуда следуют свойства симметрии

и

Реализации

В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок и дополнительная функция ошибок . Функции объявлены в заголовочных файлах math.h (для Си ) или cmath (для C++ ). Там же объявлены пары функций erff() , erfcf() и erfl() , erfcl() . Первая пара получает и возвращает значения типа float , а вторая — значения типа long double . Соответствующие функции также в библиотеке Math проекта « Boost ».

В языке Java стандартная библиотека математических функций не содержит функцию ошибок. Класс Erf можно найти в пакете org.apache.commons.math.special из не стандартной библиотеки, поставляемой Apache Software Foundation .

Системы компьютерной алгебры Maple , Matlab , Mathematica и Maxima содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке Python функция ошибок доступна из стандартной библиотеки math , начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy .

В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math .

В Excel функция ошибок представлена, как ФОШ и ФОШ.ТОЧН

См. также

Примечания

  1. Press W. H. , Teukolsky S. A. , Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes in Fortran 77. The Art of Scientific Computing (англ.) . — 2nd ed.. — Cambridge : Cambridge University Press , 1992. — 963 p. — ISBN 0-521-43064-X . — §6.2.
  2. Winitzki S. (англ.) . — 2008.
  3. ; (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9 , p 484
  4. . Дата обращения: 28 марта 2008. 29 августа 2009 года.
  5. . Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано из 9 апреля 2008 года.
  6. Язык Erlang . от 20 июня 2012 на Wayback Machine функций стандартного модуля math .
  7. . support.microsoft.com . Дата обращения: 15 ноября 2021. 15 ноября 2021 года.

Литература

  • Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. . — New York: Dover, 1972. — Т. 7.
  • Nikolai G. Lehtinen. (апрель 2010). Дата обращения: 25 мая 2019.

Ссылки

Источник —

Same as Функция ошибок