Функция ошибок не может быть представлена через
элементарные функции
, но, разлагая интегрируемое выражение в
ряд Тейлора
и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:
поскольку
— сомножитель, превращающий
-й член ряда в
-й, считая первым членом
.
Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:
При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка
будет для неё существенно особой.
Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции; она равна удвоенной
функции Гаусса
с медианой
μ = 0
и
стандартным отклонением
σ =
1
⁄
√
2
:
Хотя для любого конечного
этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления
с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.
Другое приближение даётся формулой
где
Аппроксимации
Аппроксимация
дополнительной функции ошибок, имеющая относительную погрешность в пределах 1.2×10
-7
, реализована в
:
где
при
, и
при
.
При
эта формула даёт недопустимые значения выше единицы, поэтому её нельзя использовать для оценки функции
при малых
x
.
Аппроксимация функции ошибок даётся формулой
где
.
Относительная погрешность этой аппроксимации не превосходит
, а обратная к ней функция выражается аналитически
:
Относительная погрешность последней формулы лежит в пределах до 0.002 для всех ненулевых значений
.
Обратная функция
к
, известная как
, иногда обозначается
и выражается через нормальную функцию ошибок как
Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.
Функция ошибок является частным случаем
функции Миттаг-Леффлера
, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (
):
— прямая линия, проходящая через начало координат:
— функция ошибок
.
После деления на
все
с нечётными
выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про
с чётными
. Все обобщённые функции ошибок с
выглядят похоже на полуоси
.
На полуоси
все обобщённые функции могут быть выражены через
гамма-функцию
:
Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:
Повторные интегралы дополнительной функции ошибок
Повторные интегралы
дополнительной функции ошибок определяются как
,
для
.
Их можно разложить в ряд:
откуда следуют свойства симметрии
и
Реализации
В стандарте языка
Си
(ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок
и дополнительная функция ошибок
. Функции объявлены в заголовочных файлах
math.h
(для
Си
) или
cmath
(для
C++
). Там же объявлены пары функций
erff()
,
erfcf()
и
erfl()
,
erfcl()
. Первая пара получает и возвращает значения типа
float
, а вторая — значения типа
long double
. Соответствующие функции также
в библиотеке
Math
проекта «
Boost
».
В языке
Java
стандартная библиотека математических функций
не содержит
функцию ошибок. Класс
Erf
можно найти в пакете
org.apache.commons.math.special
из не стандартной библиотеки, поставляемой
Apache Software Foundation
.
В языке
Python
функция ошибок доступна
из стандартной библиотеки
math
, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле
Special
проекта
SciPy
.
В языке
Erlang
функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля
math
.
В Excel функция ошибок представлена, как ФОШ и ФОШ.ТОЧН
(неопр.)
.
support.microsoft.com
.
Дата обращения: 15 ноября 2021.
15 ноября 2021 года.
Литература
Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007),
,
Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
(3rd ed.), New York: Cambridge University Press,
ISBN
978-0-521-88068-8
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
. — New York: Dover, 1972. — Т. 7.
Nikolai G. Lehtinen.
(неопр.)
(апрель 2010).
Дата обращения: 25 мая 2019.