Распределе́ние Берну́лли в теории вероятностей и математической статистике — дискретное распределение вероятностей , моделирующее случайный эксперимент произвольной природы, при заранее известной вероятности успеха или неудачи.

Определение

Случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 0}$ с вероятностями ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q\equiv 1-p}$ соответственно. Таким образом:

${\displaystyle \mathbb {P} (X=1)=p}$ ,

${\displaystyle \mathbb {P} (X=0)=q}$ .

Принято говорить, что событие ${\displaystyle \{X=1\}}$ соответствует «успеху», а событие ${\displaystyle \{X=0\}}$ — «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

Свойства

Предельное свойство

Предельное свойство описывается теоремой Пуассона :

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где ${\displaystyle p_{n}}$ — вероятность «успеха», ${\displaystyle \mu _{n}}$ — количество «успехов».

Тогда если

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{n}=0;}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda ;}$
3. ${\displaystyle \lambda >0,}$

то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.}$

Моменты распределения Бернулли

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=p}$ ,

${\displaystyle \operatorname {D} [X]=p(1-p)=pq}$ , так как: ${\displaystyle \operatorname {E} X^{2}-\left(\operatorname {E} X\right)^{2}=p-p^{2}=p\cdot (1-p)=pq}$ .

Вообще, легко видеть, что

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\Pr(X=1)\cdot 1^{n}+\Pr(X=0)\cdot 0^{n}=p\cdot 1^{n}+q\cdot 0^{n}=p=\mathbb {E} [X],\forall n\in \mathbb {N} }$

Замечание

Если независимые случайные величины ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ , имеют распределение Бернулли с вероятностью успеха ${\displaystyle p}$ , то

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$

имеет биномиальное распределение с ${\displaystyle n}$ степенями свободы.

См. также

• Задача о разорении игрока#Схема Бернулли .

Литература

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binomial distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4