Interested Article - Вершина кривой

Эллипс (красный) и его эволюта (синяя). Точки являются вершинами кривой и каждая из них соответствует острию эволюты.

Вершина кривой — точка кривой, в которой первая производная кривизны равна нулю . Как правило, это локальный максимум или минимум кривизны и некоторые авторы определяют вершину как экстремальную точку кривизны, то есть максимум или минимум кривизны . Различие определений проявляется, например, когда вторая производная кривизны равна нулю.

Примеры

Гипербола имеет две вершины по одной на каждой ветке. Эти вершины имеют наименьшее расстояние между двумя точками на гиперболе и лежат на главной оси. На параболе всего одна вершина и она лежит на оси симметрии . У эллипса четыре вершины, две из них лежат на большой оси и две на малой .

На окружности , поскольку она имеет постоянную кривизну , любая точка является вершиной.

Точки перегиба и касания

Вершины — это точки, где кривая имеет касание порядка 3 с соприкасающейся окружностью в этой точке . Обычно точки на кривой имеют с соприкасающейся окружностью касание второго порядка. Эволюта кривой обычно имеет касп , если кривая имеет вершину . Могут случаться и другие особые точки в вершинах большего порядка, в которых порядок соприкосновения с соприкасающейся окружностью больше трёх , хотя обычно кривая не имеет вершин высокого порядка, в семействах кривых две обычные вершины могут слиться в вершину большего порядка, а затем исчезнуть.

кривой имеет концы в каспах , соответствующих вершинам, а срединная ось , подмножество , также имеет концы в каспах.

Свойства

Согласно теореме о четырёх вершинах любая замкнутая кривая должна иметь по меньшей мере четыре вершины .

Если кривая зеркально симметрична , она имеет вершину в точке пересечения оси симметрии с кривой. Таким образом, понятие вершины кривой тесно связано оптическими точками — точками, в которых оптическая ось пересекает поверхность линзы .

Примечания

, p. 570; , p. 126
↑ , p. 127
↑ Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011.
, p. 570; , p. 127
. Дата обращения: 12 августа 2018. 20 августа 2018 года.
↑ , p. 126
, Теорема 9.3.9, C. 570; , Section 9.3 «The Four Vertex Theorem», С. 133—136; , Теорема 10.3, С. 149

Ссылки

Max K. Agoston. Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics. — Springer, 2005. — ISBN 9781852338176 .
Табачников С.Л., Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-94057-731-7 .
C. G. Gibson. Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction. — Cambridge University Press, 2001. — ISBN 9780521011075 .
Fuks, D. B.; Tabachnikov, Serge (2007), Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics , American Mathematical Society, ISBN 9780821843161