Гипотеза Тёплица , также известная как гипотеза о вписанном квадрате — нерешённая проблема геометрии . Формулировка гипотезы:

На всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, лежащие в вершинах квадрата .

Гипотеза Тёплица верна для выпуклых кривых , и в других специальных случаях. Проблема была сформулирована Отто Тёплицем в 1911 году . Ранние положительные результаты были получены Арнольдом Эмчем и Львом Шнирельманом . Для гладких кривых задача решена.

Описание

Пусть C — кривая Жордана . Многоугольник P вписан в C , если все вершины P принадлежат C . Проблема вписанного квадрата заключается в следующем:

Можно ли на каждой кривой Жордана отыскать вписанный квадрат?

При этом не требуется, чтобы вершины квадрата находились в каком-либо определённом порядке.

Для некоторых кривых, например, для окружности и квадрата , можно указать бесконечно много вписанных квадратов. В тупоугольный треугольник можно вписать ровно один квадрат.

Вальтер Стромквист доказал, что в каждую локально монотонную простую плоскую кривую можно вписать квадрат . Доказательство применимо к кривым C , обладающим свойством локальной монотонности: для любой точки p , лежащей на C , существует такая окрестность U ( p ), что ни одна хорда C в этой окрестности не является параллельной заданному направлению n ( p ) (направлению оси ординат). К локально монотонным кривым относятся все выпуклые кривые и все кусочно-заданные без точек возврата .

Утвердительный ответ также известен для центрально симметричных кривых .

Варианты и обобщения

Известно, что для любого заданного треугольника T и жордановой кривой C существует треугольник, подобный T и вписанный в C . Более того, множество вершин таких треугольников является плотным в C . В частности, всегда существует вписанный равносторонний треугольник . Также в любую жорданову кривую можно вписать прямоугольник .

В некоторых обобщениях проблемы вписанного квадрата рассматриваются вписанные в кривые многоугольники. Существуют также обобщения для многомерных евклидовых пространств . Так, Стромквист доказал, что в любую непрерывную замкнутую кривую ${\displaystyle C\in R^{n}}$ , удовлетворяющую «условию A», можно вписать четырёхугольник с равными сторонами и равными диагоналями; «условие A» заключается в том, что никакие две хорды C в соответствующей окрестности любой точки не должны быть перпендикулярными . Этот класс кривых включает все кривые C ² . Нильсен и Райт доказали, что любой симметричный континуум ${\displaystyle K\in R^{n}}$ содержит вписанные прямоугольники . Генрих Гуггенхаймер доказал, что любая гиперповерхность , C ³ - диффеоморфная сфере S ^{n −1} , содержит 2 ⁿ вершин правильного евклидова гиперкуба .

Примечания

Дополнительная литература

• and , Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory , The Dolciani Mathematical Expositions, Number 11, Mathematical Association of America , 1991

Внешние ссылки

• Mark J. Nielsen, от 12 января 2015 на Wayback Machine
• от 22 декабря 2014 на Wayback Machine at Jordan Ellenberg's blog