Кривая Евдокса ( греческий : καμπύλη [γραμμή], что переводится как «кривая [линия]») — это кривая с уравнением в декартовых координатах

${\displaystyle x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),}$

из которого исключается решение x = y = 0.

Альтернативные параметризации

В полярной системе координат кривая Евдокса имеет уравнение

${\displaystyle r=a\sec ^{2}\theta .}$

Эквивалентно, кривая имеет параметрическое представление

${\displaystyle x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).}$

История

Эту кривую четвёртой степени изучал греческий астроном и математик Евдокс Книдский (408—347 до нашей эры) в связи с классической задачей удвоения куба .

Свойства

Кривая Евдокса симметрична как относительно оси x , так и оси y . Она пересекает ось x в точках (± a ,0). Кривая имеет точки перегиба

${\displaystyle \left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$

(четыре точки перегиба, по одной в каждом квадранте). Верхняя половина кривой асимптотически приближается к ${\displaystyle x^{2}/a-a/2}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$ , и, фактически, можно записать

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac {x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x}}\right)^{2n},}$

где

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$

является ${\displaystyle n}$ -м числом Каталана .

Примечания

Литература

Ссылки

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .