Interested Article - Теорема о четырёх вершинах

Эллипс (красный) и его эволюта (синяя), показывающие четыре вершины кривой. Каждая вершина соответствует острию эволюты.

Теорема о четырёх вершинах утверждает, что функция кривизны простой замкнутой гладкой плоской кривой имеет по меньшей мере четыре локальных экстремума (в частности, по меньшей мере два локальных максимума и по меньшей мере два локальных минимума). Название теоремы отражает соглашение называть экстремальные точки функции кривизны вершинами .

Примеры

Самопересекающаяся кривая с двумя вершинами

Эллипс с неравными полуосями имеет в точности четыре вершины — два локальных максимума кривизны в местах пересечения эллипса с большой осью, и два локальных минимума в местах пересечения с малой осью.
На окружности все точки являются как локальными максимумами, так и локальными минимумами кривизны, так что на ней бесконечно много вершин.
Существуют самопересекающиеся замкнутые кривые с двумя вершинами; такова например Улитка Паскаля с самопересечением. То есть условие простоты кривой в теореме существенно.

История

Теорема о четырёх вершинах первоначально доказана для выпуклых кривых (то есть кривых со строго положительной кривизной) в 1909 году индийским математиком . Его доказательство использует факт, что точки кривой являются экстремумами функции кривизны тогда и только тогда, когда соприкасающаяся окружность имеет в этой точке 3-й порядок касания с кривой (в общем случае соприкасающаяся окружность имеет только второй порядок касания с кривой). Теорема о четырёх вершинах доказана в общем случае Адольфом Кнезером в 1912 году с помощью идей проективной геометрии . Сейчас известно несколько доказательств, основанных на разных идеях. Одно из наиболее простых предложено основано на рассмотрении минимального покрывающего круга .

Обратная теорема

Теорема, обратная теореме о четырёх вершинах, утверждает, что любая непрерывная , вещественная функция на окружности, имеющая по меньшей мере две точки максимума и по меньшей мере две точки минимума, является функцией кривизны некоторой простой замкнутой плоской кривой. Теорема доказана для строго положительных функций в 1971 году Германом Глюком как специальный случай общей теоремы о предопределённой кривизне n-сфер . Полностью обратная теорема о четырёх вершинах доказана Бьёрном Далбергом незадолго до его смерти в январе 1998 и опубликована посмертно . Доказательство Далберга использует порядок точки относительно кривой , который является некоторым топологическим вариантом доказательства основной теоремы алгебры .

Приложения в механике

Одним из следствий теоремы является то, что катящийся по горизонтальной плоскости под силой тяжести однородный плоский диск имеет по меньшей мере 4 точки равновесия. Дискретная версия этого утверждения гласит, что не может существовать . В трехмерном пространстве, однако, моностатический многогранник существует, и существует выпуклый однородный объект с двумя точками равновесия (одна устойчивая, и одна неустойчивая) — гёмбёц .

Вариации и обобщения

Любая гладкая замкнутая кривая постоянной ширины имеет по меньшей мере 6 вершин.

Четыре соприкасающиеся окружности лежащие по одну сторону от данной замкнутой кривой.

Теорема Пестова — Ионина : Для любой простой гладкой замкнутой регулярной кривой на плоскости существуют две точки, соприкасающаяся окружность в которых содержится в области ограниченной кривой; также существуют две точки соприкасающаяся окружность в которых содержится во внешней замкнутой области ограниченной кривой.
- Любая из этих четырёх точек является вершиной кривой. Обратное вообще говоря не верно, поэтому теорема Пестова — Ионина обобщает теорему о четырёх вершинах.

Существует несколько дискретных вариантов теоремы как для выпуклых, так и невыпуклых многоугольников . Вот некоторые из них:
- ( Билинский ) Последовательность углов выпуклого равностороннего многоугольника имеет по меньшей мере четыре экстремума .
- Последовательность длин сторон выпуклого равноугольного многоугольника имеет по меньшей мере четыре экстремума .
- (Мусин) Окружность , описанная вокруг трёх последовательных вершин многоугольника называется экстремальной , если она включает все оставшиеся вершины многоуголника, либо не содержит ни одной из них. Выпуклый многоугольник называется общим , если никакие четыре вершины не лежат на одной окружности. Любой общий выпуклый многоугольник имеет по меньшей мере четыре экстремальных окружности.
- ( Лежандр — Коши ) Два выпуклых n -угольника с одинаковыми длинами соответствующих сторон имеют либо как минимум четыре изменения знака последовательности разостей соответствующих углов, либо изменений знака не имеют.
- ( А. Д. Александров ) Два выпуклых n -угольника параллельными сторонами и равной площадью имеют либо по меньшей мере 4 смены знака в последовательности разностей длин соответствующих сторон, либо не имеют смены знака вообще.

См. также

Примечания

S. Mukhopadhyaya. New methods in the geometry of a plane arc // Bull. Calcutta Math. Soc. — 1909. — Т. 1 . — С. 21—27 .
Adolf Kneser. Festschrift Heinrich Weber. — Teubner, 1912. — С. 170—180.
Jackson, S. B. Vertices for plane curves. Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944).
Osserman, Robert (1985), "The four-or-more vertex theorem", American Mathematical Monthly , 92 (5): 332—337, doi : , MR .
Herman Gluck. The converse to the four-vertex theorem // L'Enseignement Math.. — 1971. — Т. 17 . — С. 295—309 .
Björn Dahlberg. // Proc. Amer. Math. Soc. — 2005. — Т. 133 , вып. 7 . — С. 2131—2135 . — doi : . 13 декабря 2007 года.
DeTruck, D., Gluck, H., Pomerleano, D., и Vick, D.S. // Notices of the American Mathematical Society. — 2007. — Т. 54 , вып. 2 . — С. 9268 . — Bibcode : . — arXiv : . 3 апреля 2018 года.
^* 29 января 2009 года. , Section 21.