Точка излома или угловая точка — особая точка кривой , обладающая тем свойством, что ветви кривой, на которые эта точка делит исходную кривую, имеют в этой точке различные (односторонние) касательные . Функция не является гладкой в данной точке.

Говорят, что функция имеет точку излома , если график функции имеет точку излома. Функция имеет точку излома, если она имеет правую и левую производные, которые различны между собой, то есть, выполняется неравенство ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f^{'}(x)\neq \lim _{x\to x_{0}^{+}}f^{'}(x)}$ и хотя бы один из них конечен (правый или левый предел не стремится к ${\displaystyle \pm \infty }$ ).

Точкой излома функции ${\displaystyle y=f(x)}$ является критическая точка первого рода в которой производная функции терпит разрыв (за исключением случая бесконечных односторонних производных одного знака) , то есть правая и левая производные не совпадают . Точка излома нередко является точкой локального экстремума , в том случае если производные слева и справа имеют разный знак .

Пример: функции ${\displaystyle y=|x|}$

Функция ${\displaystyle y=|x|}$ является непрерывной в точке (0,0). Производная равна ${\displaystyle y'=sgn(x)}$ , которая терпит разрыв в точке (0,0). ${\displaystyle f'_{+}(0)=1;f'_{-}(0)=-1}$ — правая и левая производные не совпадают. Таким образом точка (0,0) является точкой излома функции.

Примечания

См. также

• Касп
• Дифференцируемая функция