Выска́зывание в математической логике — предложение, выражающее суждение . Если суждение, составляющее содержание (смысл) некоторого высказывания, истинно, то и о данном высказывании говорят, что оно истинно. Сходным образом ложным называют такое высказывание, которое является выражением ложного суждения. Истинность и ложность называются логическими, или истинностными, значениями высказываний .

Высказывание должно быть повествовательным предложением , и противопоставляется повелительным, вопросительным и любым другим предложениям, оценка истинности или ложности которых невозможна .

Высказывание и суждение

Одно и то же суждение может быть выражено в разных языках и в разных знаковых формах в пределах одного языка. Когда суждение рассматривается в связи с какой-то конкретной формой его языкового выражения, оно называется высказыванием. Термин «суждение» употребляют, когда отвлекаются от того, какова именно его знаковая форма . В современной математической логике ещё не установилось однозначное определение понятия “высказывание”, что позволяют некоторые логики иногда заменяя его термином “суждение” ^{[ что? ]} . Здесь высказывание нельзя отождествлять с суждением, которое, также обладает свойством выражать либо истину, либо ложь. Однако, в отличие от высказывания, которое в первом разделе математической логики – исчислении высказываний , рассматривается как нерасчленённое целое, суждение является абсолютным единством субъекта и объекта , которые связаны между собой по смыслу. Помимо истинностного значения суждение несёт в себе некоторое содержание, которое может быть выражено в утверждении или отрицании чего-либо относительно предметов и явлений, их свойств, связей и отношений. Различаются высказывания и суждения также символической записью их формул. Простое высказывание всегда обозначается простым знаком А или В и др. Простое категорическое суждение имеет выражение вида: «S есть (не есть) P».

Различаются и формулы сложных высказываний и сложных суждений. Так импликативное высказывание, в котором два простых высказывания, связанные союзом, «если…, то…», выражаются в логике высказываний формулой «А ${\displaystyle \rightarrow }$ B» и читается как «А влечёт (имплицирует) В», соответствующее же этому высказыванию условное суждение, в котором отображается объективная зависимость того или иного явления от каких – либо условий будет выражаться такой формулой: «Если S есть P, то S1 есть P1» (например, «Если сахар бросить в воду, то он растворится»).

Виды высказываний

Логические высказывания принято подразделять на составные (или сложные) и элементарные. Составные логические высказывания — высказывания, содержащие логические постоянные. Составные высказывания строятся на основе других высказываний. Логическое значение сложного высказывания определяется логическим значением входящих в его состав высказываний и теми логическими постоянными, с помощью которых оно построено .

Элементарные логические высказывания — это высказывания, не относящиеся к составным. Примером элементарного высказывания может служить ${\displaystyle 5<7}$ . Примером составного логического высказывания может служить если ${\displaystyle 5<7}$ , то ${\displaystyle 5}$ — чётное число .

Логические постоянные

Логическая постоянная (логическая константа , логическая операция ) — название термина, сохраняющего одно и то же значение во всех высказываниях и не зависящего от конкретного содержания высказывания. Логические постоянные используются для соединения простых высказываний в сложные . Логические постоянные делятся на кванторы и логические союзы (связки). Слова: не; неверно, что; и; или; если…, то; тогда и только тогда, когда; либо…, либо; несовместно; ни…, ни; не…, но; но и их ближайшие синонимы являются логическими связками, слова для всех…имеет место, что; для некоторых…имеет место, что и их ближайшие синонимы являются кванторами. Логические постоянные служат как для выражения мыслей в повседневных рассуждениях, так и в научных доказательствах .

В математической логике логические постоянные обозначаются следующими символами:

• ${\displaystyle \forall }$ — логические постоянные все , для всех…имеет место, что ( квантор общности );
• ${\displaystyle \exists }$ — логические постоянные существует такой, что… , для некоторых…имеет место, что ( квантор существования );
• ${\displaystyle \land }$ , ${\displaystyle \And }$ — союз и ( конъюнкция );
• ${\displaystyle \vee }$ — союз или , когда он выступает в соединительно-разделительном значении ( дизъюнкция );
• ${\displaystyle {\dot {\vee }}}$ , ${\displaystyle \vee \vee }$ — союз или , когда он выступает в строго-разделительном исключающем значении ( строгая дизъюнкция );
• ${\displaystyle \rightarrow }$ , ${\displaystyle \supset }$ — союз если…, то ( импликация );
• ${\displaystyle \neg }$ — слова не , неверно ( отрицание ).

Логические союзы являются частью языка логики высказываний , кванторы были дополнительно введены в язык логики предикатов , который является расширением языка логики высказываний .

Логическое подлежащее и логическое сказуемое

Логическое подлежащее — то, о чём говорится в предложении (высказывании) , то, к чему относятся содержащиеся в предложениях утверждения или отрицания . Логическое сказуемое — содержащаяся в предложении (высказывании) информация о логическом подлежащем .

Роль логических подлежащих играют простые и сложные , роль логических сказуемых — (или предикаты ). К последним относятся свойства и . Предикаторы выполняют роль предметно-истинностного отображения, давая предметам определённого класса оценку «истина» или «ложь». При этом свойства являются одноместными предикаторами, характеризуя один отдельный предмет, а отношения — многоместными, характеризуя пару, тройку и т. д. предметов . Само высказывание в случае с многоместным предикатором содержит несколько логических подлежащих .

Формы высказываний

В логике предикатов высказывательной формой (формой высказывания, предикатом ) называется неполное логическое высказывание, в котором один из объектов заменён предметной переменной. При подстановке вместо такой переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание . В качестве предметных переменных в естественном языке выступают , представляющие предметов и заменяемые в формализованных языках специальными символами. Форма сходна с высказыванием, однако она не истинна и не ложна (неопределенно-истинна), поскольку неизвестно, к чему относится утверждение или отрицание .

Форма высказывания требует дополнения, относится ли утверждение или отрицание в суждении ко всем или не ко всем предметам того класса, который представляет данное общее имя. Функцию таких указателей выполняют явно выраженные или подразумеваемые кванторы . Нельзя оценивать как истинное или ложное такую высказывательную форму, как Человек — справедлив . Приведённая фраза аналогична выражению y — справедлив . Из указанной формы можно получить высказывание, заменив общее имя единичным: Иванов — справедлив , или введя кванторы: Некоторые люди справедливы . Высказывания, использующие кванторы, выражают множественные — общие и частные — суждения .

См. также

Примечания

Литература

• Бродский И. Н. Элементарное введение в символическую логику. — Издательство Ленинградского университета, 1972. — 63 с.
• Розенталь Д. Э. , Теленкова М. А. Словарь-справочник лингвистических терминов. — 2-ое изд. — М. : Просвещение , 1976.
• Высказывание // Вешин — Газли. — М. : Советская энциклопедия, 1971. — ( Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 5).
• Кондаков Н.И. Логический словарь. — 2-е изд. — М. : Наука , 1975. — 721 с.
• Чупахин И.Я., Бродский И.Н. Формальная логика. — Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1977. — 357 с.
• Войшвилло Е. К. , Дегтярев М. Г. Логика. — М. : ВЛАДОС-ПРЕСС, 2001. — 528 с. — ISBN 5-305-00001-7 .
• Карпенко, А.С. Современные исследования в философской логике // Логические исследования. — М. : Наука, 2003. — Вып. 10 . — С. 61—93 . — ISBN 5-02-006257-X .
• Новая философская энциклопедия. — М. , 2010. — Т. 2 .