Интегрированный временной ряд — нестационарный временной ряд , разности некоторого порядка от которого являются стационарным временным рядом. Такие ряды также называют разностно-стационарными (DS-рядами, Difference Stationary) . Примером интегрированного временного ряда является случайное блуждание , часто используемое при моделировании финансовых временных рядов.

Определение

Для определения интегрированных временных рядов необходимо определить класс временных рядов, называемых стационарными относительно тренда рядами ( TS -рядами, trend stationary). Ряд ${\displaystyle x_{t}}$ называется TS -рядом, если существует некоторая детерминированная функция f(t) , такая что разность ${\displaystyle x_{t}-f(t)}$ является стационарным процессом. В частности, к TS-рядам относятся все стационарные ряды. Однако, многие TS-ряды являются нестационарными. К TS рядам относится, например, также модель линейного (детерминированного) тренда ${\displaystyle x_{t}=a+bt+\varepsilon _{t}}$ где ошибка модели — стационарный процесс (обычно белый шум).

Временной ${\displaystyle X_{t}}$ ряд называется интегрированным порядка k (обычно пишут ${\displaystyle X_{t}\sim I(k)}$ ), если разности ряда k -го порядка ${\displaystyle \vartriangle ^{k}x_{t}}$ — являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются TS-рядами . В частности I(0) -это стационарный процесс.

Пример

Рассмотрим пример — процесс случайного блуждания со сносом (дрейфом) — интегрированный процесс первого порядка ${\displaystyle I(1)}$

${\displaystyle x_{t}=a+x_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

где случайная ошибка модели — белый шум . Первые разности временного ряда, очевидно, являются стационарными. Представим модель в несколько иной форме:

${\displaystyle x_{t}=a+x_{t-1}+\varepsilon _{t}=a+a+x_{t-2}+\varepsilon _{t-1}+\varepsilon _{t}=a+a+a+x_{t-3}+\varepsilon _{t-2}+\varepsilon _{t-1}+\varepsilon _{t}=...=x_{0}+at+\sum _{i=1}^{t}\varepsilon _{i}}$

Таким образом, случайное блуждание с дрейфом внешне похоже на модель линейного тренда с одной очень существенной разницей — дисперсия ошибки модели ${\displaystyle V(\sum _{i=1}^{t}\varepsilon _{i})=t\sigma ^{2}}$ пропорциональна времени, то есть со временем стремится к бесконечности. Притом, что математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. Если даже применить к временному ряду процедуру исключения линейного (детерминированного) тренда, то получим все равно нестационарный процесс — стохастический тренд.

Интегрированность и единичные корни

Понятие интегрированного временного ряда тесно связано с единичными корнями в авторегрессионных моделях . Наличие единичных корней в характеристическом полиноме авторегрессионной составляющей модели временного ряда означает интегрированность временного ряда. Причем количество единичных корней совпадает с порядком интегрированности.

См. также

• Единичный корень
• ARIMA
• Коинтеграция

Литература

• Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. — М. : Юнити-Дана, 2001. — 432 с. — ISBN 5-238-00305-6 .
• Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М. : Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0 .
• Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. — 2-е изд. — М. : Финансы и статистика, 2006. — 576 с. — ISBN 5-279-02786-3 .