Пятиугольник — многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы.

Площадь пятиугольника без самопересечений

Площадь пятиугольника без самопересечений, заданного координатами вершин, определяется по общей для многоугольников формуле .

Выпуклый пятиугольник

Выпуклым пятиугольником называется пятиугольник, такой, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой , проходящей через две его соседние вершины .

Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}=(5-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }}$

Любые 9 точек в общем положении содержат вершины выпуклого пятиугольника, и существует множество из 8 точек в общем положении, в котором нет выпуклого пятиугольника . Доказано также, что любые 10 точек на плоскости в общем положении содержат выпуклый пустой пятиугольник, и существует множество из 9 точек в общем положении, в котором нет выпуклого пустого пятиугольника .

Правильный пятиугольник

Пентагоном или правильным пятиугольником называется пятиугольник, у которого все стороны и углы равны. Если провести в пентагоне диагонали, то он разобьётся на :

• меньший пентагон (образуеся точками пересечения диагоналей) — в центре
• Вокруг меньшего пентагона — пять равнобедренных треугольников двух видов (с отношением бедра к основанию, равным золотой пропорции ):
  • 1) имеют острые углы в 36° при вершине и острые углы в 72° при основании
  • 2) имеют тупой угол в 108° при вершине и острые углы в 36° при основании

При соединении двух первых и двух вторых треугольников их основаниями получатся два « золотых » ромба (первый имеет острый угол в 36° и тупой угол в 144°). Роджер Пенроуз использовал «золотые» ромбы для конструирования «золотого» паркета ( мозаики Пенроуза ).

Звездчатые пятиугольники

Многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника называется звёздчатым . Помимо правильного существует ещё один звёздчатый пятиугольник — пентаграмма .

Пентаграмма, как полагал Пифагор, представляет собой математическое совершенство, поскольку демонстрирует золотое сечение (φ = (1+√5)/2 = 1,618…). Если разделить длину любого цветного отрезка на длину самого длинного из оставшихся меньших отрезков, то будет получено золотое сечение φ.

${\displaystyle \varphi ={\frac {\mathrm {\color {red}red} }{\mathrm {\color {Blue}blue} }}={\frac {\mathrm {\color {Blue}blue} }{\mathrm {\color {Green}green} }}={\frac {\mathrm {\color {Green}green} }{\mathrm {\color {Magenta}magenta} }}}$

См. также

• Правильный пятиугольник
• Пентагон
• Пентаграмма
• Пятиугольный паркет

Примечания

Это заготовка статьи по математике . Помогите Википедии, дополнив её.