Правильный семиугольник — это правильный многоугольник с семью сторонами .

Свойства

Пусть ${\displaystyle t}$ — сторона семиугольника, ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности , ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности.

${\displaystyle t=2R\sin {\frac {\pi }{7}}=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}~;~r=R\cos {\frac {\pi }{7}}}$ ,

Периметр правильного семиугольника равен

${\displaystyle P=7t=14R\sin {\frac {\pi }{7}}=14r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}}$ .

Площадь правильного семиугольника рассчитывается по формулам:

${\displaystyle S={\frac {7}{4}}t^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{7}}}$ ,

${\displaystyle S={\frac {7}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{7}}}$ ,

${\displaystyle S=7r^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}}$ .

Построение

Точное

Согласно теореме Гаусса — Ванцеля , правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки , но можно построить с помощью циркуля и невсиса , то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Построим квадрат PQRO со стороной a (см. рис.). Проведём дугу окружности с центром O и радиусом OQ . Возьмём линейку невсиса с диастемой (длиной) a и используя вертикальную ось симметрии квадрата в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и дугу окружности в качестве целевой линии, получим отрезок AB , который будет стороной правильного семиугольника, с вертикальной осью симметрии, совпадающей с осью симметрии квадрата.

Приближённое

Приближённое (но с достаточной для практики точностью ≈0,2 %) построение семиугольника показано на рисунке. Из точки ${\displaystyle A}$ на окружности радиусом, равным радиусу окружности, проводим дугу ${\displaystyle BOC}$ . Отрезок ${\displaystyle BD={1 \over 2}BC}$ и даст искомое приближение.

Семиугольные звёзды

Существует два звёздчатых семиугольника (гептаграммы): 7/2 и 7/3. Методы их построения аналогичны построению обычного семиугольника, только вершины нужно соединять через одну (7/2) или через две (7/3).

• 
  Семиугольная звезда 7/2
• 
  Семиугольная звезда 7/3

Применение

В Великобритании используются две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет — криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины , чтобы монеты плавно проходили в автоматы . Семиугольный кант аналогичной криволинейной формы имеет круглая монета номиналом в 10 киргизских сом .

Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась, как элемент герба Грузии , в том числе и в советское время. В настоящее время не применяется.

Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании A.P. Moller-Maersk Group .

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску ). Информация должна быть проверяема , иначе она может быть удалена. Вы можете статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок . ( 6 июня 2022 )