Правильный шестнадцатиугольник
Углы	16
Символ Шлефли	{16}, t{8}, tt{4}

Шестнадцатиугольник , гексадекагон ― многоугольник с 16 углами и 16 сторонами. Как правило, шестнадцатиугольником называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны. В случае шестнадцатиугольника углы равны 157°30′.

Правильный шестнадцатиугольник

Формулы

Площадь правильного шестнадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

${\displaystyle S=4a^{2}\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\right)=4a^{2}\cdot \cot({\tfrac {\pi }{16}})\approx 20,109358\,a^{2}}$

Или, при радиусе описанной окружности R :

${\displaystyle S=4R^{2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}=8R^{2}\cdot \sin({\tfrac {\pi }{8}})\approx 3,061467\,R^{2}}$

Или, при радиусе вписанной окружности r :

${\displaystyle S=16r^{2}\cdot \tan({\tfrac {\pi }{16}})\approx 3,182598\,r^{2}}$

Центральный угол правильного шестнадцатиугольника равен 22°30′.

Построение

Поскольку 16 ― это степень двойки , правильный шестнадцатиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля:

Разбиение

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный ${\displaystyle 2m}$ -угольник (в общем случае - ${\displaystyle 2m}$ -угольный зоногон ) можно разбить на ${\displaystyle {\frac {m(m-1)}{2}}}$ ромбов. Для шестнадцатиугольника ${\displaystyle m=8}$ , так что он может быть разбит на 28 ромбов.

Разбиение правильного шестнадцатиугольника

Неправильные шестнадцатиугольники

Неправильным шестнадцатиугольником является октаграмма :

Шестнадцатиугольники в искусстве

В начале XVI века Рафаэль Санти впервые построил перспективное изображение правильного шестнадцатиугольника: башня на его картине « Обручение Девы Марии » имеет 16 сторон.

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .