Апейрогон или бесконечноугольник (от др.-греч. ἄπειρος — бесконечный или безграничный и др.-греч. γωνία — угол) — обобщённый многоугольник со счётно-бесконечным числом сторон .

Правильный апейрогон

Правильный апейрогон имеет стороны равной длины, как и любой другой правильный многоугольник . Его символ Шлефли — {∞}, диаграмма Коксетера — Дынкина — .

Правильный апейрогон разбивает плоскость на две полуплоскости, образуя {∞,2}. Внутренняя часть апейрогона может быть определена путём указания направления сторон.

Евклидовы мозаики

Правильные		Однородные
∞.∞	2 ∞	4.4.∞	3.3.3.∞
	{2, ∞}

Правильными апейрогонами можно считать прямые, состоящие из рёбер четырёх однородных мозаик и пяти мозаик, двойственных однородным, на евклидовой плоскости.

3 направления		1 направление	2 направления
	Треугольный паркет		Квадратный паркет (кадриль)

3 направления		6 направлений	1 направление	4 направления

Неправильные апейрогоны

Изогональный апейрогон имеет вершины одного типа и чередующиеся стороны двух типов (длин).

Квазиправильный апейрогон — изогональный апейрогон с равными длинами сторон.

Изотоксальный апейрогон является двойственным по отношению к изогональному. Он имеет один тип рёбер и два типа вершин и геометрически идентичен правильному апейрогону, что можно показать чередующейся раскраской вершин в два цвета.

Правильный	… …
Квазиправильный	… …
	… …
	… …

Апейрогоны на плоскости Лобачевского

Правильные апейрогоны на плоскости Лобачевского имеют кривизну, также как и многоугольники с конечным числом сторон. Вокруг апейрогона на плоскости Лобачевского можно описать орицикл или эквидистанту (гиперцикл), аналогично тому, как вокруг многоугольника с конечным числом сторон может быть описана окружность .

Однородные мозаики из апейрогонов

3	4	5

Однородные мозаики из апейрогонов (продолжение)

6	7	8	…	∞

Правильные и однородные мозаики из апейрогонов

		tr{12i, 3}
Правильный: {∞}	Квазиправильный: t{∞}	Квазиправильный: t{12i}

Примечания

Литература

• H. S. M. Coxeter . . — 3rd. — New York: Dover Publications , 1973. — С. –122. — ISBN 0-486-61480-8 .
• Grünbaum, B. , Aequationes Math. 16 (1977) p. 1-20
• Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9 . (1st ed, 1957) 5.2 The Petrie polygon {p, q}.

Ссылки

• ' Russell, Robert A. . (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Olshevsky, George. (неопр.) . Glossary for Hyperspace . 4 февраля 2007 года.