Правильный 65537-угольник
Правильный 65537-угольник визуально неотличим от окружности (при разрешении в 1000 пикселей отличие от окружности будет меньше одной миллионной пикселя).

Правильный 65537-угольник ( шестьдеся̀тпятьты̀сячпятисо̀ттридцатисемиуго́льник ) — правильный многоугольник с 65 537 углами и 65 537 сторонами . Из-за того, что центральный угол мал, в графическом представлении правильный 65537-угольник почти не отличается от окружности (см. иллюстрацию).

Правильный 65537-угольник представляет интерес, поскольку 65 537 является простым числом Ферма , что делает возможным построение данного многоугольника с помощью циркуля и линейки . Эта задача была решена Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

Построение

Отличительная особенность правильного 65537-угольника — это тот факт, что его возможно построить, используя только циркуль и линейку .

Число 65 537 — это самое большое известное простое число Ферма :

${\displaystyle 65~537=2^{2^{4}}+1}$ .

Гаусс в 1796 году доказал, что правильный n -угольник можно построить циркулем и линейкой, если нечётные простые делители числа n являются различными числами Ферма . В 1836 году П. Ванцель доказал необходимость этого условия для построения таких многоугольников. Ныне это утверждение известно как теорема Гаусса — Ванцеля .

В 1894 году Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537-угольника и описал его в рукописи размером более 200 страниц (оригинал рукописи хранится в библиотеке Гёттингенского университета ).

Пропорции

Углы

Центральный угол равен ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{65~537}}\approx 0{,}0054930802447472424^{\circ }\approx 0^{\circ }0'19{,}77508888''}$ .

Внутренний угол равен ${\displaystyle {\frac {65~537-2}{65~537}}\cdot 180^{\circ }\approx 179{,}99450691975525^{\circ }=180^{\circ }-0{,}0054930802447472424^{\circ }}$ .

Наглядное представление

Для иллюстрации пропорций практически непредставимой фигуры могут служить следующие соображения:

• Отклонение центрального угла от 0°, а также отклонение внутреннего угла от 180° составляет всего лишь примерно 0,005°. Если приподнять за один конец лежащую на земле жердь длиной 104,3 метра только на один сантиметр , то она образует с землёй примерно этот угол.

• Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 см , то его наибольшая диагональ будет больше 200 м .
• Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 м , то разница между радиусами его вписанной и описанной окружностей, каждый из которых будет около 10 км , составит всего лишь около 0,024 мм .
• Если нарисовать 65537-угольник диаметром 20 см , то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса .

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .