Interested Article - Звезда (геометрия)

Звезда — вид плоских невыпуклых многоугольников , не имеющий однозначного математического определения.

Звёздчатый многоугольник

Пятиконечная звезда {5/2}, вписанная в правильный пятиугольник {5/1}

Правильная 8-вершинная звезда, вписанная в правильный 8-угольник

Звёздчатый многоугольник — многоугольник , у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника . Стороны звёздчатого многоугольника могут пересекаться между собой. Существует множество звёздчатых многоугольников или звёзд , среди них пентаграмма , гексаграмма , две гептаграммы , октаграмма , , .

Звёздчатые многоугольники можно получить, продолжая одновременно все стороны правильного многоугольника после их пересечения в его вершинах до их следующего пересечения в точках, которые и являются вершинами звёздчатого многоугольника. Полученный звёздчатый многоугольник будет звёздчатой формой правильного многоугольника, из которого он получен. Вершинами звёздчатого многоугольника будут считаться только точки, в которых сходятся стороны этого многоугольника, но не точки пересечения этих сторон; звёздчатая форма данного многоугольника имеет столько же вершин, сколько он сам. Указанную операцию невозможно проделать с правильным треугольником и квадратом, так как после продления их стороны более не пересекаются; среди правильных многоугольников звёздчатые формы имеют только многоугольники с числом сторон более четырёх. Звёздчатой формой правильного пятиугольника (пентагона) является пентаграмма .

В ином способе получить звёздчатую форму правильного n -угольника каждая его вершина соединяется с m -й от неё на окружности по часовой стрелке. Звезда, полученная таким образом, обозначается как {n/m} . При этом точки пересечения сторон между собой не рассматриваются как вершины. Такая звезда имеет n вершин и n сторон, также как и правильный n -угольник.

Соотношение радиусов 2 окружностей правильной звезды с вышеприведённым вариантом построения: внешней (на которой лежат вершины углов лучей звезды) и внутренней (на которой лежат точки пересечения сторон соседних лучей) вычисляется по формуле:

${\frac {\cos \left({\frac {\pi }{n}}\times m\right)}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\times (m-1)\right)}}$

Звёзды могут быть связными (нераспадающимися едиными многоугольниками), не являясь соединениями других правильных или звёздчатых многоугольников (как в случае с пентаграммой), а могут быть несвязными , распадаясь на несколько одинаковых правильных многоугольников или связных звёзд (примером чему служит звёздчатая форма шестиугольника — гексаграмма , являющаяся соединением двух треугольников).

У правильного многоугольника может быть несколько звёздчатых форм, количество которых зависит от того, сколько раз его стороны пересекаются между собой после их продления, примером чего является семиугольник, имеющий 2 звёздчатые формы (два вида семиконечной звезды).