Золотой прямоугольник — это прямоугольник , длины сторон которого находятся в золотой пропорции , ${\displaystyle 1:{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ , или ${\displaystyle 1:\varphi }$ (греческая буква фи ), где φ примерно равно 1,618.

Построение

Золотой прямоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки следующим способом:

1. Строим обычный квадрат.
2. Из угла проводится линия до середины противоположной стороны.
3. Строим окружность, используя точку пересечения в качестве центра окружности, а в качестве радиуса используем полученный отрезок.
4. Продолжаем противоположную сторону до пересечения с окружностью.

Связь с правильными многоугольниками и многогранниками

Отличительной особенностью фигуры является то, что после удаления квадрата оставшаяся часть остаётся золотым прямоугольником , сохраняя то же самое . Удаление квадратов можно продолжать бесконечно, при этом соответствующие углы квадратов образуют бесконечную последовательность точек на золотой спирали , единственной логарифмической спирали с этим свойством.

Другое построение золотого прямоугольника использует три правильных многоугольника, вписанных в одинаковые окружности — десятиугольник , шестиугольник и пятиугольник . Соответствующие длины сторон a , b и c этих трёх многоугольников удовлетворяют равенству a ² + b ² = c ² , так что отрезки с этими длинами образуют (согласно теореме Пифагора ). Отношение длины стороны шестиугольника к длине стороны десятиугольника равно золотому сечению, так что треугольник образует половину золотого прямоугольника .

Выпуклая оболочка двух противоположных рёбер правильного икосаэдра образует золотой прямоугольник. Двенадцать вершин икосаэдра можно разбить на три взаимно перпендикулярных золотых прямоугольника, границы которых образуют кольца Борромео .

Приложения

Согласно популяризатору астрофизики и математики Марио Ливио , после публикации книги Пачоли « Божественная пропорция » в 1509 году , когда золотая пропорция стала известна художникам без излишней математики , многие художники и архитекторы были очарованы золотым сечением, и оно принято ими как эстетически приятное. Пропорции золотого прямоугольника были известны и до публикации Пачоли в традиционных системах пропорционирования архитектурных сооружений, в частности в «египетской системе диагоналей». Такие архитектурные шедевры, как Парфенон в Афинах или Альгамбра в Гранаде явно использовали пропорции золотого прямоугольника.

Аналогичное построение использовал в 1940-х годах французский архитектор-модернист Ле Корюзье в собственной системе пропорционирования « Модулор » и российский архитектор-теоретик И. П. Шмелёв при анализе пропорций древних сооружений.

• Вилла Штейн (1927) архитектора Ле Корбюзье в Гарше в горизонтальном плане, в профиле и во внутренних структурах использует близкие к золотому прямоугольнику пропорции .
• Флаг Того разработан с пропорциями, близкими к золотому прямоугольнику .

См. также

• Числа Фибоначчи
• Золотая середина
• Золотое сечение
• Золотой ромб
• Треугольник Кеплера
• Фибоначчи
• Серебряное сечение

Примечания

Литература

• Edward B. Burger, Michael P. Starbird. The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking. — Springer, 2005. — ISBN 9781931914413 .
• Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. — New York: Broadway Books, 2002. — ISBN 0-7679-0815-5 .
• Audrey M. Van Mersbergen. Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic // Communication Quarterly. — 1998. — Т. 46 . 'Golden Rectangle' has a ratio of the length of its sides equal to 1:1.61803+. The Parthenon is of these dimensions.
• Le Corbusier. The Modulor. — С. 35 . , как цитировано у Падована Richard Padovan. Proportion: Science, Philosophy, Architecture. — Taylor & Francis, 1999. — С. 320. — ISBN 0-419-22780-6 . : "Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section".

Ссылки

• от 22 августа 2017 на Wayback Machine
• от 30 марта 2015 на Wayback Machine
• от 15 февраля 2017 на Wayback Machine With interactive animation