Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка ) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел , даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами.

Названа в честь Георга Пика , доказавшего её в 1899 году .

Формулировка

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна ${\displaystyle {\text{В}}+{\dfrac {\text{Г}}{2}}-1}$ , где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Следствия

• Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2.
  • Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разности подходящих дробей цепной дроби .

Вариации и обобщения

• Многочлен Эрара даёт один из вариантов обобщения формулы Пика на старшие размерности .

• Если все грани целочисленного многогранника ${\displaystyle M}$ центрально симметричны (в частности если многогранник является зонэдром ) то его объём может быть вычислен по формуле

  ${\displaystyle V(M)={\tfrac {1}{4\pi }}\cdot \sum _{v}\alpha (v),}$

где суммирование ведётся по всем целочисленным точкам ${\displaystyle v\in M}$ и ${\displaystyle \alpha (v)}$ телесный угол ${\displaystyle M}$ при ${\displaystyle v}$ ; если ${\displaystyle v}$ лежит внутри ${\displaystyle M}$ , то считается что ${\displaystyle \alpha (v)=4\cdot \pi }$ .

• Аналогичное утверждение верно и в ${\displaystyle n}$ -мерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

${\displaystyle V(M)={\tfrac {1}{\omega _{n}}}\cdot \sum _{v}\alpha (v),}$

где ${\displaystyle \omega _{n}}$ обозначает площадь единичной сферы в ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ .

Примечания

Литература

• В. В. Прасолов . . — М. : МЦНМО , 2001. — 584 с. — ISBN 5-900916-82-0 .
• А. Кушниренко. // Квант . — 1977. — № 4 . — С. 13—20 .