Рассмотрим функцию ${\displaystyle g(x)=f(x)-C.}$ Она непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle g(a)<0}$ , ${\displaystyle g(b)>0.}$ Покажем, что существует такая точка ${\displaystyle c\in [a,b]}$ , что ${\displaystyle g(c)=0.}$ Разделим отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ точкой ${\displaystyle x_{0}}$ на два равных по длине отрезка, тогда либо ${\displaystyle g(x_{0})=0}$ и нужная точка ${\displaystyle c=x_{0}}$ найдена, либо ${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$ и тогда на концах одного из полученных промежутков функция ${\displaystyle g(x)}$ принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$ , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке ${\displaystyle c}$ , либо получим последовательность вложенных отрезков ${\displaystyle [a_{n},b_{n}]}$ по длине стремящихся к нулю и таких, что

${\displaystyle g(a_{n})<0<g(b_{n}).}$

Пусть ${\displaystyle c}$ - общая точка всех отрезков (согласно принципу Кантора , она существует и единственна) ${\displaystyle [a_{n},b_{n}]}$ , ${\displaystyle n=1,2,...}$ Тогда ${\displaystyle c=\lim a_{n}=\lim b_{n},}$ и в силу непрерывности функции ${\displaystyle g(x):}$

${\displaystyle g(c)=\lim g(a_{n})=\lim g(b_{n}).}$

Поскольку

${\displaystyle \lim g(a_{n})\leq 0\leq \lim g(b_{n}),}$

получим, что ${\displaystyle g(c)=0.}$