Первообрáзная для функции ${\displaystyle f(x)}$ (иногда называемая антипроизводной или примити́вной функцией ) — это такая функция, производная которой равна ${\displaystyle f(x)}$ . Это одно из важнейших понятий математического анализа вещественной переменной (существуют также обобщения этого понятия для комплексных функций ).

Определение

Первообразной для данной функции ${\displaystyle f(x)}$ называют такую функцию ${\displaystyle F(x)}$ , производная которой равна ${\displaystyle f}$ (на всей области определения ${\displaystyle f}$ ), то есть ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ . Нахождение первообразной является операцией, обратной дифференцированию — последнее по заданной функции находит её производную, а найдя первообразную, мы, наоборот, по заданной производной определили исходную функцию.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять определённые интегралы . Если ${\displaystyle F}$ — первообразная интегрируемой непрерывной функции ${\displaystyle f}$ , то:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница .

Технически нахождение первообразной заключается в вычислении неопределённого интеграла для ${\displaystyle f(x)}$ , а сам процесс называется интегрированием . О применении этой теории в геометрии см. Интегральное исчисление .

Пример: функция ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}$ является первообразной для ${\displaystyle f(x)=x^{2},}$ потому что ${\displaystyle F'(x)=f(x).}$

Неоднозначность

Если ${\displaystyle F}$ — первообразная для ${\displaystyle f}$ , то любая функция, полученная из ${\displaystyle F}$ добавлением константы : ${\displaystyle G(x)=F(x)+C}$ тоже является первообразной для ${\displaystyle f}$ . Таким образом, если функция имеет первообразную, то она входит в целое семейство первообразных ${\displaystyle F(x)+C,}$ которое называется неопределённым интегралом ${\displaystyle f(x)}$ и записывается в виде интеграла без указания пределов:

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

Верно и обратное: если ${\displaystyle F}$ — первообразная для ${\displaystyle f}$ , и функция ${\displaystyle f}$ определена на каком-либо интервале , тогда каждая первообразная ${\displaystyle G}$ отличается от ${\displaystyle F}$ на константу: всегда существует число ${\displaystyle C}$ , такое что ${\displaystyle G(x)=F(x)+C}$ для всех ${\displaystyle x}$ . Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения ${\displaystyle C.}$ Число ${\displaystyle C}$ называют постоянной интегрирования .

Например, семейство первообразных для функции ${\displaystyle x^{2}}$ имеет вид: ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}+C}$ , где ${\displaystyle C}$ — любое число.

Если область определения функции ${\displaystyle f}$ не является сплошным интервалом, то её первообразные не обязаны отличаться на константу . Так, например, функция ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}}$ не существует в нуле, поэтому её область определения состоит из двух интервалов: ${\displaystyle x>0}$ и ${\displaystyle x<0.}$ Соответственно получаются два независимых семейства первообразных на этих интервалах: ${\displaystyle -{\frac {1}{x}}+{\hat {C}}}$ , где ${\displaystyle {\hat {C}}}$ является константой при ${\displaystyle x>0}$ и, вообще говоря, другой константой при ${\displaystyle x<0}$ :

${\displaystyle {\hat {C}}(x)=\left\{{\begin{aligned}C_{1},{\text{ если }}x<0\\C_{2},{\text{ если }}x>0\end{aligned}}\right.}$

Существование

Каждая непрерывная функция ${\displaystyle f}$ имеет первообразную ${\displaystyle F}$ , одна из которых представляется в виде интеграла от ${\displaystyle f}$ с переменным верхним пределом:

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, ${\displaystyle f(x)=2x\sin {\frac {1}{x}}-\cos {\frac {1}{x}}}$ с ${\displaystyle f(0)=0}$ не непрерывна при ${\displaystyle x=0}$ , но имеет первообразную ${\displaystyle F(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$ с ${\displaystyle F(0)=0}$ . Для разрывных ограниченных функций вместо интеграла Римана удобно использовать более общий интеграл Лебега . Необходимыми условиями существования первообразной являются принадлежность функции ${\displaystyle f}$ первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу .

Многие первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (то есть через многочлены , экспоненциальные функции , логарифмы , тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx}$ .

Для таких функций интеграл от них, если он существует, может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования .

Свойства первообразной

• Первообразная суммы функций равна сумме первообразных для слагаемых.
• Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции.
• У всех функций, непрерывных на отрезке, существуют и первообразная, и интеграл по Риману . Однако в общем случае существование первообразной и интегрируемость функции не связаны :
  • Функция знака (sgn) интегрируема по Риману, но не имеет первообразной (из-за разрыва в нуле).
  • У функции ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}}$ (положим также ${\displaystyle f(0)=0}$ ) на отрезке ${\displaystyle [-1,1]}$ имеется конечная производная ${\displaystyle g(x);}$ таким образом, у функции ${\displaystyle g(x)}$ существует первообразная (а именно, ${\displaystyle f(x)}$ ), но ${\displaystyle g(x)}$ не ограничена на ${\displaystyle [-1,1]}$ и поэтому не интегрируема по Риману.

Техника интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

• линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
• интегрирование подстановкой , часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом ,
• интегрирование по частям для операций с произведениями функций,
• , особый случай интегрирования по частям,
• метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
• алгоритм Риша — алгоритм для интегрирования любых элементарных функций,
• некоторые интегралы можно найти в таблицах, см. Категория:Списки интегралов ,
• при многократном интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см. двойной интеграл и полярные координаты , Якобиан и теорема Стокса ,
• Системы компьютерной алгебры помогают автоматизировать некоторые вышеприведённые символьные операции (в частности алгоритм Риша), что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими.

Примечания

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд.. — М. : Наука, 1977. — 872 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М. : Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.
• Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М. : Высшая школа, 2007. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4 .

Ссылки

• с помощью системы Mathematica
• от 1 декабря 2008 на Wayback Machine
• от 6 января 2010 на Wayback Machine