Interested Article - Теорема Тонелли — Фубини

Теоре́ма Тоне́лли Фуби́ни в математическом анализе , теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка

Пусть даны два пространства с -конечными мерами . Обозначим через их произведение . Пусть функция интегрируема относительно меры . Тогда

  • функция определена -почти всюду и интегрируема относительно ;
  • функция определена -почти всюду и интегрируема относительно ;
  • имеют место равенства

и

Частные случаи

Теория вероятностей

Пусть вероятностные пространства , и случайная величина на . Тогда

где индекс обозначает вероятностную меру , относительно которой берётся математическое ожидание .

Математический анализ

Пусть функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике , то есть . Тогда

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные. Предполагается, что повторные интегралы существуют.

Доказательство

Любое разбиение множества получено некоторыми разбиениями отрезка и отрезка , при этом объём любого прямоугольника определяется , где ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла

и нижних и верхних интегральных сумм функции и :



Тогда при интегрируемости по , то есть равенстве из вышеуказанных оценок интеграл также существует и имеет такое же значение, как и

См. также

Литература

  • Зорич В. А. . — М. : Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — С. 131—138.
Источник —

Same as Теорема Тонелли — Фубини