В математике, дифферинтеграл Римана — Лиувилля отображает вещественную функцию ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ в другую функцию ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ того же типа для каждого значения параметра ${\displaystyle \alpha >0}$ . Данный дифферинтеграл является обобщением повторной первообразной от ${\displaystyle f}$ в том смысле, что для целых положительных значений ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ представляет собой повторную первообразную функции ${\displaystyle f}$ порядка ${\displaystyle \alpha }$ . Дифферинтеграл Римана — Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля , последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832 году. Данный оператор согласуется с при действии на аналитические функции . Он был обобщён на произвольные размерности Марселем Рисом , который ввёл .

Интеграл Римана — Лиувилля определяется как:

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha)}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt,}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция , а ${\displaystyle a}$ — произвольная, но фиксированная точка отсчёта. То что данный интеграл хорошо определён обеспечивается локальной интегрируемостью функции ${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle \alpha }$ — комплексное число в полуплоскости ${\displaystyle \mathrm {Re} \,\alpha >0}$ . Зависимость от точки отсчёта ${\displaystyle a}$ часто не существенна и представляет собой свободу в выборе . ${\displaystyle I^{1}f}$ конечно же является первообразной (первого порядка) функции ${\displaystyle f}$ , для целых положительных значений ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ представляет собой первообразную порядка ${\displaystyle \alpha }$ в соответствии с формулой повторного интегрирования Коши . В других обозначениях, подчёркивающих зависимость от точки отсчёта имеет вид :

${\displaystyle {}_{a}\mathbb {D} _{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha)}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt.}$

Данное выражение имеет смысл и при ${\displaystyle a=-\infty }$ , с соответствующими ограничениями на ${\displaystyle f}$ .

Фундаментальными соотношениями остаются:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,}$

последние из которых представляет собой полугрупповое свойство. Эти свойства позволяют не только определить дробное интегрирование, но и дробное дифференцирование посредством взятия достаточного числа производных функции ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ .

Свойства

Пусть ${\displaystyle (a,\;b)}$ — фиксированный ограниченный интервал . Оператор ${\displaystyle I^{\alpha }}$ отображает любую интегрируемую функцию ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle (a,\;b)}$ в функцию ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ на ${\displaystyle (a,\;b)}$ , которая также интегрируема по теореме Фубини . Таким образом, ${\displaystyle I^{\alpha }}$ определяет линейный оператор на пространстве L 1 (a , b) {\displaystyle L^{1}(a,\;b)} :

${\displaystyle I^{\alpha }\colon L^{1}(a,\;b)\to L^{1}(a,\;b).}$

Из теоремы Фубини также следует, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на ${\displaystyle L^{1}}$ . Таким образом, верно следующее неравенство:

${\displaystyle \|I^{\alpha }f\|_{1}\leqslant {\frac {|b-a|^{\mathrm {Re} \,\alpha }}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha)|}}\|f\|_{1}.}$

Здесь ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ обозначает норму в ${\displaystyle L^{1}(a,\;b)}$ .

В более общем случае, из неравенства Гёльдера следует, что если ${\displaystyle f}$ принадлежит ${\displaystyle L^{p}(a,\;b)}$ , то и ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ также принадлежит ${\displaystyle L^{p}(a,\;b)}$ и выполняется аналогичное неравенство:

${\displaystyle \|I^{\alpha }f\|_{p}\leqslant {\frac {|b-a|^{\mathrm {Re} \,\alpha \,/\,p}}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha)|}}\|f\|_{p},}$

где ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ — норма в пространстве L p {\displaystyle L^{p}} на интервале ${\displaystyle (a,\;b)}$ . Таким образом, ${\displaystyle I^{\alpha }}$ определяет ограниченный линейный оператор из ${\displaystyle L^{p}(a,\;b)}$ в себя. Более того, ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ стремится к ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle L^{p}}$ -смысле при ${\displaystyle \alpha \to 0}$ вдоль вещественной оси. То есть:

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0+}\|I^{\alpha }f-f\|_{p}=0}$

для всех ${\displaystyle p\leqslant 1}$ . Кроме того, оценивая оператора ${\displaystyle I}$ можно доказать поточечную сходимость ${\displaystyle I^{\alpha }f\to f}$ почти всюду .

Оператор ${\displaystyle I^{\alpha }}$ хорошо определён на множестве локально-интегрируемых функций на всей действительной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Он определяет ограниченное отображение на любом банаховом пространстве функций ${\displaystyle X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}\,dt)}$ , состоящего из локально-интегрируемых функций для которых норма

${\displaystyle \|f\|=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt}$

конечна. Для ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle X_{\sigma }}$ преобразование Лапласа функции ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ принимает особенно простую форму:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s),}$

где ${\displaystyle \mathrm {Re} \,s>\sigma }$ . Здесь через ${\displaystyle F(s)}$ обозначено преобразование Лапласа функции ${\displaystyle f}$ и это свойство выражает тот факт, что ${\displaystyle I^{\alpha }}$ представляет собой .

Дробные производные

Можно также определить производные дробного порядка от функции ${\displaystyle f}$ :

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f,}$

где через ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ обозначена операция взятия целой части . Можно также получить дифферинтегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием определяя:

${\displaystyle \mathbb {D} _{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\dfrac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x),&\alpha >0;\\f(x),&\alpha =0;\\I^{-\alpha }f(x),&\alpha <0.\end{cases}}}$

Примечания

Ссылки

• Hille, Einar & Phillips, Ralph S. (1974), Functional analysis and semi-groups , Providence, R.I.: American Mathematical Society .
• Miller, Kenneth S. & Ross, Bertram (1993), An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9 .
• Riesz, Marcel (1949), , Acta mathematica Т. 81 (1): 1–223, ISSN , DOI 10.1007/BF02395016 .
• Alan Beardon. (неопр.) . University of Cambridge (2000). 17 мая 2012 года.
• Alan Beardon. (неопр.) . University of Cambridge (2000). 17 мая 2012 года.