Золотая спираль — логарифмическая спираль , коэффициент роста которой равен φ ⁴ , где φ — золотое сечение . Коэффициент роста логарифмической спирали показывает, во сколько раз изменился полярный радиус спирали при повороте на угол 360° . Своё название эта спираль получила из-за связи с последовательностью вложенных друг в друга прямоугольников с отношением сторон, равным φ , которые принято называть золотыми . Золотую спираль можно как вписать в систему таких прямоугольников, так и описать вокруг неё. Популярность золотая спираль приобрела из-за того, что известная с начала XVI века и применяющаяся в искусстве спираль, построенная по методу Дюрера , оказалась хорошей аппроксимацией для золотой спирали (см. рисунок).

Формула

Уравнение для золотой спирали в полярной системе координат то же самое, что и для других логарифмических спиралей , но со специальным значением коэффициента роста - φ ⁴ :

${\displaystyle r=a\varphi ^{\pm {\frac {2\theta }{\pi }}}}$ ,

где a — произвольная положительная вещественная константа, а ${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ — золотое сечение .

Основное свойство логарифмической спирали: угол между радиус-вектором, исходящим из полюса, и касательной к спирали - μ - постоянен, и для золотой спирали определяется формулой:

${\displaystyle \operatorname {tg} \mu ={\dfrac {r}{r'}}={\dfrac {\pi }{2\ln \varphi }}}$ , где ${\displaystyle r'={\dfrac {dr}{d\theta }}{\begin{array}{|c|c|c|}a&b&S\\\hline 0&0&1\\0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\\\end{array}}\underbrace {a+b+\cdots +z} _{26}{}_{p}F_{q}\left({a_{1},\ldots ,a_{p} \atop b_{1},\ldots ,b_{q}};z\right)}$ .

Откуда ${\displaystyle \mu \approx 73^{\circ }}$ .

Приближения золотой спирали

Существует несколько похожих спиралей, которые близки, но не совпадают в точности с золотой спиралью , с которой их часто путают.

Как уже было написано выше, при вписывании золотой спирали в последовательность вложенных друг в друга золотых прямоугольников, она аппроксимируется спиралью, построенной по методу Дюрера. Золотой прямоугольник можно разделить на квадрат и подобный ему прямоугольник, его, в свою очередь, разделить тем же образом, и продолжать этот процесс произвольное число раз. Если в эти квадраты вписать соединённые между собой четвертинки окружностей, то получается спираль, изображенная на первом рисунке.

Ещё одной аппроксимацией является спираль Фибоначчи , которая строится подобно вышеописанной спирали, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины. Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов (см. второй рисунок).

Спирали в природе

В природе встречаются приближения к логарифмическим спиралям с коэффициентом роста равным φ ^k . Так раковины моллюсков Nautilus pompilius и окаменелых аммонитов хорошо описываются при k = 2, а раковины некоторых улиток при k = 1. Отношение длин трёх витков спирали уха у человека равно φ , что соответствует спирали с k = 1. Рукава спиральных галактик , несмотря на существующие утверждения , если и описываются логарифмической, то не золотой спиралью. В данном случае, описание ею является проявлением случайной близости. Недавний анализ спиралей, встречающихся в роговичном эпителии мышей, показал, что там встречаются как золотая, так и другие логарифмические спирали.

См. также

• Геликоид
• Золотой угол
• Золотой прямоугольник
• Синусоидальная спираль
• Спираль

Примечания

Литература

• David Darling. The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. — John Wiley & Sons, 2004. — ISBN 9780471270478 .
• Ivars Peterson. Sea Shell Spirals. — Society for Science & the Public, 2005-04-01.
• Keith Devlin. The myth that will not go away. — May 2007.
• Jerry Rhee, Talisa Mohammad Nejad , Olivier Comets, Sean Flannery, Eine Begum Gulsoy, Philip Iannaccone , Craig Foster. Promoting convergence: The Phi spiral in abduction of mouse corneal behaviors // Complexity. — 2015. — Т. 20 , вып. 3 . — С. 22–38 . — doi : .
• Midhat Gazale. Gnomon: From Pharaohs to Fractals. — Princeton University Press, 1999. — ISBN 9780691005140 .
• Charles B. Madden. Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. — High Art Press, 1999. — ISBN 0-9671727-6-4 .
• Klaus Mainzer. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. — Walter de Gruyter, 1996. — ISBN 3-11-012990-6 .
• Priya Hemenway. . — Sterling Publishing Co, 2005. — ISBN 1-4027-3522-7 .