Кривая Ферма — алгебраическая кривая на комплексной проективной плоскости , определяемая в однородных координатах ( X : Y : Z ) уравнением Ферма

${\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}.\ }$

Применительно к евклидовой плоскости уравнение имеет вид

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1.\ }$

Целочисленное решение уравнения Ферма соответствует ненулевому рациональному решению евклидова уравнения и наоборот. Согласно теореме Ферма при n ≥ 3 не существует нетривиальных целочисленных решений уравнения Ферма, поэтому кривая Ферма не имеет ненулевых рациональных точек.

Кривая Ферма (англ.) ( и имеет род

${\displaystyle (n-1)(n-2)/2.\ }$

Таким образом, кривая Ферма имеет род 0 для n = 2 (и является коническим сечением ) и род 1 для n = 3 (и является эллиптической кривой ). (англ.) ( кривой Ферма глубоко изучено. Оно изоморфно произведению простых абелевых многообразий с (англ.) ( .

Существует обобщение кривой Ферма на большее число измерений; в этом случае уравнения, аналогичные уравнению кривой Ферма, определяют проективное многообразие , называемое многообразием Ферма .

Ссылки

• Gross, Benedict H.; Rohrlich, David E. (1978), (PDF) , Inventiones Mathematicae , 44 (3): 201—224, doi : , (PDF) из оригинала 13 июля 2011 , Дата обращения: 12 января 2012 от 13 июля 2011 на Wayback Machine .