Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность , определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства . Размерность Лебега пространства ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle \dim X}$ .

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства ${\displaystyle X}$ размерность Лебега определяется как наименьшее целое число ${\displaystyle n}$ , обладающее тем свойством, что при любом ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует конечное открытое ${\displaystyle \varepsilon }$ - покрытие ${\displaystyle X}$ , имеющее кратность ${\displaystyle \leqslant n+1}$ ;

При этом

• ${\displaystyle \varepsilon }$ -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр ${\displaystyle <\varepsilon }$ , а
• кратностью конечного покрытия пространства ${\displaystyle X}$ называется наибольшее такое целое число ${\displaystyle k}$ , что существует точка пространства ${\displaystyle X}$ , содержащаяся в ${\displaystyle k}$ элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого ) пространства ${\displaystyle X}$ размерностью Лебега называется наименьшее целое число ${\displaystyle n}$ такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства ${\displaystyle X}$ существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности ${\displaystyle n+1}$ .

При этом покрытие ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ называется вписанным в покрытие ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ , если каждый элемент покрытия ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ .

Примеры

• Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство , канторово множество .
  • См. также нульмерное пространство .
• Одномерные пространства: окружность , треугольник Серпинского , ковёр Серпинского , губка Менгера
  • См. также кривая Урысона

Свойства

• Неравенство

  ${\displaystyle \dim(X\times Y)\leqslant \dim X+\dim Y.}$

выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ :

• метризуемость,
• компактность,
• локальная компактность и паракомпактность.

Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается; это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина .

• Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа .
  • Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства ${\displaystyle X}$ совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на ${\displaystyle X}$ .
• Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство ${\displaystyle X}$ имеет размерность ${\displaystyle \dim X\leqslant n}$ тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ пространства ${\displaystyle X}$ существует вписанное покрытие ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ , которое состоит из ${\displaystyle n+1}$ подсемейств ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\dots ,{\mathcal {V}}_{n+1}}$ таких, что каждое подсемейство ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{i}}$ состоит из непересекающиеся между собой множеств.

История

Впервые введена Анри Лебегом . Он высказал гипотезу, что размерность ${\displaystyle n}$ -мерного куба равна ${\displaystyle n}$ . Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта ${\displaystyle \dim X}$ (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон .

Примечания

Литература

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973