Круговой фрактал — класс геометрических (конструктивных) фракталов (см., например, ), построенных многократным вписыванием в окружность других окружностей меньшего радиуса. (см. рис. 1a, 1b, 1c).

Применение

Конструктивные круговые фракталы могут найти применение в качестве моделей различных природных структур в химии, биологии, технологии материалов и др. Фракталы такого типа были предложены в работе в качестве моделей кластеров магнитопотоковых трубок в верхних слоях солнечной конвективной зоны. Рассматривались и более сложные конструкции такого рода, например, круговые фракталы с перекрывающимися элементами, моделирующие скрученные магнитопотоковые трубки , см.также . Возможно также построение мультифрактальных конструкций подобного типа для моделирования более сложных структур. В отличие от ковров Серпинского , такие фракталы строятся не из прямоугольных или треугольных, а из круговых элементов.

Первые три из потенциально бесконечной последовательности таких круговых фракталов приведены на рис. 1a, 1b, и 1c.

Для расчета хаусдорфовых размерностей ( d ) этих объектов можно воспользоваться известной формулой для конструктивных фракталов: ${\displaystyle d=\log(n)/\log(1/a)}$ . В случае рис. 1а, значение n =3. Параметр а — отношение характерных длин соседних масштабов. В данном случае, это ${\displaystyle r_{i+1}/r_{i}}$ ; где ${\displaystyle r_{i}}$ — радиус большей окружности, ${\displaystyle r_{i+1}}$ — радиус окружности соседнего меньшего масштаба. Из простых геометрических соображений находим: а=0,4641. Подставляя эти значения в формулу, получаем d≈1,43. Для варианта на рис. 1b, соответственно, n=4, а=0,4142… , d≈1,57… Для варианта, изображенного на рис. 1c, имеем: n=7, a=1/3 и, размерность d≈1,77… Увеличивая число вписываемых окружностей, получаем бесконечную последовательность фрактальных объектов, с хаусдорфовыми размерностями d → 2.

Пример

В окружность радиуса R вписывают семь окружностей радиуса R/3 таким образом, чтобы они все касались, но не пересекали друг друга. В каждую из этих семи окружностей вписываются по семь окружностей R/9 и т. д.

Примечания

Литература

• Чумак О. В. . — , 2011. — 164 с. — ISBN 978-5-93972-852-2 . (недоступная ссылка)

Для улучшения этой статьи желательно : Оформить статью по правилам . Проставить сноски , внести более точные указания на источники. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.