Спино́р ( англ. spin — вращаться) — специальное обобщение понятия вектора , применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.

Суть спинорного описания пространства V — построение вспомогательного комплексного линейного пространства S , так чтобы V вкладывалось в ${\displaystyle S\otimes S^{*}}$ (в тензорное произведение пространства S на комплексно-сопряжённое к себе).

Элементы пространства S и называются «спинорами»; зачастую (хотя и не обязательно) у них отсутствует какой-либо прямой геометрический смысл.

Однако на спинорах можно «почти» определить действие группы вращений, а именно: вращение действует на спинор с точностью до неопределённого комплексного множителя, равного по модулю 1 (в простых случаях, с точностью до ±1).Спиноры можно представить в виде обыкновенных комплексных векторов, но в пространстве с антисимметричной метрикой, например:

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ .

Индексы спиноров бывают пунктирные и непунктирные, так как по некоторым индексам спинор преобразуется как комплексно сопряжённый.

Если исходное пространство V рассматривалось над полем вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , то векторы из V будут описаны в S эрмитовыми матрицами .

Математически строгое обоснование такого построения делается с помощью алгебры Клиффорда , построенной по изучаемому пространству V .

Спиноры впервые были рассмотрены в математике Э. Картаном в 1913 году . Они были вновь открыты в 1929 году Б. ван дер Варденом в связи с исследованиями по квантовой механике .

Определение

Спинором первого ранга называется вектор ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2})}$ в двумерном комплексном пространстве, преобразующийся по формулам:

${\displaystyle a_{1}^{'}=\alpha _{11}a_{1}+\alpha _{12}a_{2}}$ ,

${\displaystyle a_{2}^{'}=\alpha _{21}a_{1}+\alpha _{22}a_{2}}$ ,

с детерминантом преобразования, равным единице:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{vmatrix}}=1}$ .

Спинор ${\displaystyle a}$ также обозначается как ${\displaystyle a_{k},(k=1,2)}$ .

Коэффициенты ${\displaystyle \alpha _{rs},(r=1,2;s=1,2)}$ являются комплексными числами.

Для каждого спинора существует коспинор ${\displaystyle b=(b_{\dot {1}},b_{\dot {2}})}$ в двумерном комплексном пространстве, преобразующийся по формулам:

${\displaystyle b_{\dot {1}}^{'}={\bar {\alpha _{11}}}b_{\dot {1}}+{\bar {\alpha _{12}}}b_{\dot {2}}}$ ,

${\displaystyle b_{\dot {2}}^{'}={\bar {\alpha _{21}}}b_{\dot {1}}+{\bar {\alpha _{22}}}b_{\dot {2}}}$ ,

где чёрточками отмечены комплексно-сопряжённые величины. Индексы у коспиноров помечаются точками.

Спинорами высших рангов называются величины, которые преобразуются как произведения спиноров первого ранга. Например, спинор второго ранга ${\displaystyle a_{kl}(k,l=1,2)}$ преобразуется как произведение спиноров первого ранга ${\displaystyle a_{k}b_{l}}$ . Смешанный спинор второго ранга ${\displaystyle a_{{\dot {k}}l}({\dot {k}},l=1,2)}$ преобразуется как произведение спиноров первого ранга ${\displaystyle a_{\dot {k}}b_{l}}$ .

В спинорной алгебре, как и в тензорной алгебре, справедливо правило суммирования по повторяющимся вверху и внизу индексам и существует метрический спинор второго ранга ${\displaystyle e^{kl}}$ и определяемый следующим образом:

${\displaystyle a^{k}=e^{kl}a_{l}}$ ,

${\displaystyle a_{k}=e_{kl}a^{l}}$ ,

${\displaystyle e_{kl}=e_{lk}=e_{{\dot {k}}{\dot {l}}}=e_{{\dot {l}}{\dot {k}}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$ ,

${\displaystyle e^{kl}=e^{lk}=e^{{\dot {k}}{\dot {l}}}=e^{{\dot {l}}{\dot {k}}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ .

Свойства

Координаты спиноров и коспиноров связаны следующими соотношениями:

${\displaystyle a^{1}=a_{2}}$ , ${\displaystyle b^{\dot {1}}=b_{\dot {2}}}$ ,

${\displaystyle a^{2}=-a_{1}}$ , ${\displaystyle b^{\dot {2}}=-b_{\dot {1}}}$ ,

Абсолютная величина любого спинора нечётного ранга равна нулю:

${\displaystyle a_{l}a^{l}=0}$ ,

${\displaystyle a_{lmn}a^{lmn}=0}$ ,

${\displaystyle a^{l}b_{l}c_{m}+a_{l}b_{m}c^{l}+a_{m}b^{l}c_{l}=0}$ .

С помощью спиноров вводятся дифференциальные операторы, инвариантные при бинарных преобразованиях.

Компонентам четырёхмерного градиента соответствуют операторы:

${\displaystyle \partial _{1}^{1}=\partial _{{\dot {2}}1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}}$ ,

${\displaystyle -\partial _{2}^{\dot {2}}=\partial _{{\dot {1}}2}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}}$ ,

${\displaystyle -\partial _{1}^{\dot {2}}=\partial _{{\dot {1}}{\dot {1}}}={\frac {\partial }{\partial x^{3}}}-{\frac {\partial }{\partial x^{4}}}}$ ,

${\displaystyle -\partial _{2}^{\dot {1}}=\partial _{{\dot {2}}2}={\frac {\partial }{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial }{\partial x^{4}}}}$ .

Трёхмерное пространство

Для представления 3-мерного пространства в качестве S необходимо взять 2-мерное комплексное пространство ${\displaystyle S={\mathbb {C} }^{2}.}$

Векторы трёхмерного пространства будут соответствовать матрицам с нулевым следом .

Спиноры 3-мерного евклидова пространства обладают алгеброй , близкой к алгебрам скалярного и векторного произведений. Эта алгебра допускает удобное описание в терминах кватернионов Гамильтона . А именно, с каждым вектором x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) из вещественных (или комплексных ) чисел можно ассоциировать комплексную матрицу :

${\displaystyle {\mathbf {x} }\rightarrow X=x_{1}\sigma _{1}+x_{2}\sigma _{2}+x_{3}\sigma _{3}=\left({\begin{matrix}x_{3}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}&-x_{3}\end{matrix}}\right),}$

где ${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$ — матрицы Паули (они ассоциированы с базисными векторами e ₁ , e ₂ , e ₃ ).

Матрицы X такой формы, ассоциированные с векторами x , обладают следующими свойствами, внутренне связывающими их с геометрией 3-мерного пространства:

• det X = −(длина x ) ² .
• X ² = (длина x ) ² I , где I — единичная матрица.
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(XY+YX)=({\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {y} })I.}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(XY-YX)=iZ,}$ где Z — матрица, ассоциированная с векторным произведением z = x × y .
• Если u — единичный вектор, то UXU — матрица, ассоциированная с вектором, получаемым из x отражением в плоскости, ортогональной u .
• Согласно линейной алгебре , любое вращение в 3-мерном пространстве представимо в виде двух отражений. (Сходно, любое меняющее направление ортогональное преобразование есть либо отражение, либо произведение трёх (вообще, нечётного числа) отражений.) Таким образом, если R — вращение, представимое в виде двух последовательных отражений в плоскостях, перпендикулярных единичным векторам u ₁ и u ₂ , то матрица U ₂ U ₁ XU ₁ U ₂ представляет вращение R вектора x .

Имея эффективный способ представления всей геометрии вращений 3-мерного пространства набором комплексных 2×2-матриц, естественно задаться вопросом, какую роль играют 2×1-матрицы, если вообще они играют какую-то роль. Временно назовём спинором вектор-столбец:

${\displaystyle \xi =\left[{\begin{matrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matrix}}\right],}$

с комплексными компонентами ξ ₁ и ξ ₂ . Очевидно, в пространстве спиноров действуют комплексные 2×2-матрицы. Более того, произведение двух отражений (для данной пары единичных векторов) определяет 2×2-матрицу, действие которой на эвклидовы векторы есть вращение, так что она вращает спиноры. Но здесь есть важное свойство — факторизация вращения не единственна. Ясно, что если X → RXR ⁻¹ есть представление вращения, то замена R на − R даст то же самое вращение. На самом деле, можно легко показать, что это единственная возникающая неопределенность. Действие операции вращения на спинор всегда двузначно.

Пространство Минковского

Если к трём матрицам Паули добавить ещё и единичную матрицу (за номером 0), то мы получим спинорное представление пространства Минковского M :

${\displaystyle X=\sigma _{\mu }x^{\mu },\ \mu =0,\ 1,\ 2,\ 3.}$

При этом светоподобные вектора (нулевой длины) будут отвечать вырожденным матрицам вида ${\displaystyle \pm {\bar {\psi }}\otimes \psi }$ , где ${\displaystyle \psi \in S}$ .

Соответствие между пространством Минковского и эрмитовыми матрицами 2×2: M ≈Herm(2) будет взаимно-однозначным .

Спиноры в физике

Спиноры отнюдь не являются чисто абстрактным построением, никак не проявляющим себя по отношению к геометрии реальности. Многие встречающиеся в квантовой механике величины являются спинорами (см. спин , уравнение Дирака ). При релятивистском рассмотрении используется изложенное выше спинорное представление пространства Минковского. Например, существует довольно простое спинорное представление уравнений Максвелла .

При малых скоростях используются 3-мерные спиноры.

См. также

• Спинорная группа
• Теория представлений
• Твистор
• Спин
• Кубит
• Спинорное расслоение

Примечания

Литература

• Дирак П. Спиноры в гильбертовом пространстве / Пер. с англ. — М.: Мир, 1978. — 126 с.
• Желнорович В. А. Теория спиноров и её применение в физике и механике. — М.: Наука, 1982. — 272 с.
• Желнорович В. А. Теория спиноров и её применения. — М.: Август-Принт, 2001. — 400 с. — ISBN 5-94681-001-4
• Картан Э. Теория спиноров / Пер. с франц. — М.: ГИИЛ, 1947.
• Пенроуз Р. , Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Том 2 / Пер с англ. — М.: Мир, 1988. — 584 с.
• Рашевский П. К. Теория спиноров. — Изд. 2-е. — М.: КомКнига, 2006. — 112 с. — ISBN 5-484-00348-2
• Румер Ю. Б. Спинорный анализ. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — 104 с.
• Яппа Ю. А. Введение в теорию спиноров и её приложения в физике: Учебное пособие / Под ред. В. А. Франке. — СПб. : Изд-во СПбГУ, 2004. — 256 с. — ISBN 978-5-288-01951-7 .

Ссылки

• [bse.sci-lib.com/article105279.html «Спинорное исчисление»] в БСЭ .