Стереографическая проекция
параллелей гиперсферы (красная),
меридианов
(синий) и
(зелёный). В связи с конформными свойствами стереографической проекции кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в жёлтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, которые пересекаются в <0,0,0,1>, имеют бесконечный радиус (то есть являются прямыми).
Трёхмерная сфе́ра
(
трёхмерная гиперсфе́ра
, иногда
3-сфе́ра
) —
сфера
в
четырёхмерном пространстве
. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном
евклидовом пространстве
. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу
шара
в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.
Содержание
Уравнение
В декартовых координатах
трёхмерная сфера радиуса
может быть задана уравнением
Рассматривая комплексное пространство
как вещественное
, уравнение сферы может быть рассмотрено как
Аналогично, в пространстве кватернионов
:
Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:
Свойства
Трёхмерная сфера
является границей четырёхмерного шара.
Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным
многообразием
. Трёхмерная сфера
односвязна
, то есть любая замкнутая кривая на ней может быть непрерывно стянута в точку.
Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной
компактификации
трёхмерного вещественного пространства
.
Таким образом, сфера
является
группой Ли
. Среди
-мерных сфер таким свойством обладают только
и
.
Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы
с помощью
матриц Паули
:
Поэтому группа
изоморфна матричной группе Ли
.
Действие группы U(1) и расслоение Хопфа
Если определить действие группы
:
то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере
. При этом на сфере
возникает структура расслоения с базой
и слоями, гомеоморфными
, то есть окружности
. Это расслоение называется
расслоением Хопфа
.
Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой
Точка
(
z
1
,
z
2
)
сферы
отображается в точку
[
z
1
:
z
2
]
комплексной
проективной прямой
CP
1
, которая диффеоморфна двумерной сфере
.
Фоменко А. Т., Фукс Д. Б.
Курс гомотопической топологии. —
М.
, 1989.
Ссылки
Weisstein, Eric W.
(англ.)
на сайте Wolfram
MathWorld
.
(англ.)
Примечание
: В данной статье используются альтернативные схемы именования для сфер, в которых сфера в
N
-мерном пространстве называется
N
-сферой.