Мартин Дэвид Дэвис ( англ. Martin Davis , 8 марта 1928 — 1 января 2023 ) — американский математик , известный своей работой, которая посвящена десятой проблеме Гильберта .

Биография

Родители Дэвиса иммигрировали в США из города Лодзь ( Польша ). Встретившись уже в Нью-Йорке , они поженились. Дэвис родился и вырос в городе Бронкс . Родители с детства поощряли Мартина получить высшее образование .

В 1950 году под руководством Алонзо Черча Мартин получил степень доктора в Принстонском университете , который является одним из старейших и самых престижных университетов США.

Взнос

Дэвис — один из изобретателей и алгоритма DPLL . Также он известен благодаря своей модели машины Поста .

Десятая проблема Гильберта

В 30-х годах XX века формализуется понятие алгоритм , а также появляются первые примеры алгоритмически неразрешимых теорий в математической логике . Важным моментом стало доказательство Андреем Марковым и Эмилем Постом (независимо друг от друга) неразрешимости в 1947 году. Это было первое доказательство неразрешимости алгебраической задачи. Трудности, с которыми столкнулись исследователи диофантовых уравнений , вызвали предположение, что необходимого Гильбертом алгоритма не существует. Немного ранее, в 1944 году, Эмиль Пост в одной из своих работ уже писал, что десятая проблема «молит о доказательстве неразрешимости» ( англ. «Begs for an unsolvability proof» ).

Гипотеза Дэвиса

Слова Поста вдохновили студента Мартина Дэвиса на поиск доказательств неразрешимости десятой проблемы. Дэвис перешёл от её формулировки в целых числах к более естественной для теории алгоритмов формулировки в натуральных числах . Это две разные задачи, однако каждая из них сводится к другой. В 1953 году он опубликовал работу, в которой наметил путь решения десятой проблемы в натуральных числах .

Дэвис наравне с классическими диофантовыми уравнениями рассмотрел их параметрическую версию:

${\displaystyle P(a_{1},\ldots ,a_{n},x_{1},\ldots ,x_{m})=0,}$

где многочлен ${\displaystyle P}$ с целыми коэффициентами можно разделить на две части — параметры ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ и переменные ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}.}$ При одном наборе значений параметров уравнения может иметь решение, при другом решений может его не иметь. Дэвис выделил множество ${\displaystyle M}$ , которое содержит все наборы значений параметров ( ${\displaystyle n}$ ), при которых уравнение имеет решение:

${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\in M\Longleftrightarrow \exists x_{1},\ldots ,x_{m}\colon P(a_{1},\ldots ,a_{n},x_{1},\ldots ,x_{m})=0.}$

Такую запись он назвал диофантовым представлением множества, а само множество также назвал диофантовым. Для доказательства неразрешимости десятой проблемы нужно было лишь показать диофантовость любого перечислимое множества , то есть показать возможность построения уравнения, которое имело бы натуральные корни ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ при ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ , принадлежащих к этому множеству: поскольку среди перечислимых множеств содержатся неразрешимые, то, взяв неразрешимое множество ${\displaystyle M}$ за основу, невозможно было бы получить общий метод, который бы ${\displaystyle n}$ определял, имеются ли в этом наборе уравнения натуральные корни. Всё это привело Дэвиса к такой гипотезе:

Понятие диофантового и перечислимого множества совпадают. Это значит, что множество диофантово тогда и только тогда, когда оно перечислимое.

Дэвис также сделал первый шаг — доказал, что любое перечислимое множество ${\displaystyle M}$ можно представить в виде:

${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\in M\Longleftrightarrow \exists z\forall y<z\exists x_{1},\ldots ,x_{m}\colon P(a_{1},\ldots ,a_{n},x_{1},\ldots ,x_{m},y,z)=0.}$

Это получило название «нормальная форма Дэвиса». Доказать свою гипотезу, избавившись от квантора всеобщности , ему на тот момент не удалось.

Награды и почётные звания

В 1975 году, Дэвис был награждён премией Стила , премией «Chauvenet Prize» и премией Лестера Форда за работу, которая посвящена десятой проблеме Гильберта .

В 1982 году Мартин стал членом и Американской академии искусств и наук .

В 2012 был избран стипендиатом Американского математического общества .

Отдельные издания

Книги

• Мартин, Дэвис. Прикладной нестандартный анализ (неопр.) . — Нью-Йорк: Wiley, 1977. — ISBN 9780471198970 .
• Мартин, Дэвис; Джессика, Элейн; Рон, Сигал. Вычислимости, сложность и речи: Основы теоретической информатики (рус.) . — 2-й том. — Бостон: Academic Press, Harcourt, Brace, 1994. — ISBN 9780122063824 .
• Мартин, Дэвис. Двигатели логики: математика и происхождение компьютера (рус.) . — Нью-Йорк: Norton, 2000. — ISBN 9780393322293 .

Обзор «двигателей логики»: Уоллес, Ричард, , ALICE A. I. Foundation. {{ citation }} : Недопустимый |ref=harv ( справка ) (недоступная ссылка)

Статьи

• Мартин Дэвис (1995), «Является ли математическое понимание алгоритмическим», «Behavioral and Brain Sciences», 13(4), 659-60.

См. также

• Проблема остановки
• Нестандартный анализ

Примечания

Ссылки

• от 28 сентября 2014 на Wayback Machine
• на математическом портале Math-Net.Ru