Ядерная физика
Атомное ядро · Радиоактивный распад · Ядерная реакция · Термоядерная реакция
Основные термины Атомное ядро · Изотопы · Изобары · · Период полураспада · Массовое число · Составное ядро · Цепная ядерная реакция · Ядерное эффективное сечение
Распад ядер Закон радиоактивного распада · Альфа-распад · Бета-распад · Кластерный распад
Сложный распад Электронный захват · Двойной бета-распад · Двойной электронный захват · Внутренняя конверсия · Изомерный переход
Излучения Ионизирующее излучение · Нейтронный распад · Позитронный распад · Протонный распад · Гамма излучение · Фоторасщепление
Захваты Электронный захват · Нейтронный захват ( r-процесс · s-процесс ) · Протонный захват ( p-процесс · rp-процесс ) · Нейтронизация
Деление ядра Спонтанное деление
Нуклеосинтез Первичный нуклеосинтез · Протон-протонный цикл · CNO-цикл · Тройная гелиевая реакция · Гелиевая вспышка · Ядерное горение углерода · Углеродная детонация · Ядерное горение кислорода · Ядерное горение неона · Ядерное горение кремния · Реакции скалывания
См. также: Портал:Физика

Капельная модель ядра — одна из самых ранних моделей строения атомного ядра , предложенная Нильсом Бором в 1936 году в рамках теории составного ядра , развитая Яковом Френкелем и, в дальнейшем, Джоном Уилером , на основании которой Карлом фон Вайцзеккером была впервые получена полуэмпирическая формула для энергии связи ядра атома , названная в его честь формулой Вайцзеккера .

Согласно этой теории, атомное ядро можно представить в виде сферической равномерно заряженной капли из особой ядерной материи, которая обладает некоторыми свойствами, например несжимаемостью, насыщением ядерных сил, «испарением» нуклонов ( нейтронов и протонов ), напоминает жидкость . В связи с чем на такое ядро-каплю можно распространить некоторые другие свойства капли жидкости , например поверхностное натяжение , дробление капли на более мелкие ( деление ядер ), слияние мелких капель в одну большую ( синтез ядер ). Учитывая эти общие для жидкости и ядерной материи свойства, а также специфические свойства последней, вытекающие из принципа Паули и наличия электрического заряда , можно получить полуэмпирическую формулу Вайцзеккера, позволяющую вычислить энергию связи ядра, а значит и его массу , если известен его нуклонный состав (общее число нуклонов ${\displaystyle A}$ ( массовое число ) и количество протонов ${\displaystyle Z}$ (зарядовое число) в ядре):

${\displaystyle E_{c}=\alpha A-\beta A^{2/3}-\gamma {\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}-\varepsilon {\frac {(A-2Z)^{2}}{A}}+\delta }$ ,

где ${\displaystyle \delta =}$	{	${\displaystyle +\chi A^{-3/4}}$ для чётно-чётных ядер
		0      для ядер с нечётным ${\displaystyle A}$
		${\displaystyle -\chi A^{-3/4}}$ для нечётно-нечётных ядер

Коэффициенты ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \beta }$ , ${\displaystyle \gamma }$ , ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle \chi }$ получают при статистической обработке экспериментальных данных.

Эта формула даёт довольно точные значения энергий связи и масс для очень многих ядер, что делает её достаточно универсальной и очень ценной для анализа различных свойств ядра. В целом капельная модель ядра и полуэмпирическая формула для энергии связи сыграли решающую роль в построении Бором, Френкелем и Уилером теории деления ядра .

Вывод формулы Вайцзеккера

Из предположения, что все нуклоны ядра равноценны и каждый взаимодействует только с близлежащими, как молекулы в капле жидкости, следует, что энергия связи должна быть пропорциональна полному числу нуклонов ${\displaystyle A}$ и, таким образом, в первом приближении:

${\displaystyle E_{c}=\alpha A}$ , где ${\displaystyle \alpha }$ — коэффициент пропорциональности.

Однако такая чрезвычайно упрощённая картина требует нескольких существенных поправок .

Поправка на эффект поверхностного натяжения

У нуклонов, находящихся на поверхности ядра, непосредственных соседей меньше, чем у нуклонов, расположенных внутри него, следовательно, первые будут связаны со своими соседями слабее (испарение частиц капли жидкости протекает с её поверхности). Следовательно, такие «поверхностные» нуклоны внесут меньший вклад в полную энергию связи. Общее число «поверхностных» нуклонов пропорционально площади поверхности ядра, то есть его радиусу в квадрате ${\displaystyle (R^{2})}$ , а так как ${\displaystyle R\sim A^{1/3}}$ , то ${\displaystyle R^{2}\sim A^{2/3}}$ , следовательно, формула примет вид:

${\displaystyle E_{c}=\alpha A-\beta A^{2/3}}$

Поправка на кулоновское отталкивание

В отличие от обычной, «ядерная жидкость» содержит заряженные частицы. Из закона Кулона и предположения, что каждый из протонов при взаимодействии с остальными ${\displaystyle (Z-1)}$ протонами находится от них на расстоянии радиуса ядра ${\displaystyle R}$ , каждый протон даст вклад, пропорциональный ${\displaystyle (Z-1)/R}$ , а значит при учёте всех ${\displaystyle Z}$ полная энергия связи уменьшится на величину, пропорциональную:

${\displaystyle Z(Z-1)/R\approx Z^{2}/R\sim Z^{2}/A^{1/3}}$ , следовательно, формула примет вид:

${\displaystyle E_{c}=\alpha A-\beta A^{2/3}-\gamma {\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}}$

Поправка на протон-нейтронную асимметрию

Хотя капельная модель ядра достаточно хорошо описывает общий характер зависимости энергии связи от массового числа ядра, существуют особенности в поведении ядер, для описания которых этой модели недостаточно. Первая такая особенность — наибольшая устойчивость лёгких ядер — имеет место при Z ~ A - Z. Образование пары нейтрон-протон энергетически более выгодно, чем образование пар протон-протон, нейтрон-нейтрон, поэтому отклонение в любую сторону от вышеуказанного условия приводит к уменьшению энергии связи, а при больших ${\displaystyle Z}$ именно это происходит (см. поясняющий рисунок), что объясняется возрастанием кулоновского отталкивания. Этот эффект объясняется принципом исключения Паули , одинаковые фермионы не могут находиться в одинаковых состояниях. Так когда однотипных нуклонов больше, то некоторым из них приходится занимать состояние с большей энергией.

${\displaystyle \Delta E_{c}=\varepsilon {\frac {(N-Z)^{2}}{A}}=-\varepsilon {\frac {(A-2Z)^{2}}{A}}}$

Иногда в литературе применяется следующая запись ${\displaystyle -\varepsilon _{1}{\frac {(A/2-Z)^{2}}{A}}}$ , но тогда ${\displaystyle \varepsilon _{1}=4\varepsilon }$

С учётом члена, характеризующего протон-нейтронную асимметрию, формула примет вид:

${\displaystyle E_{c}=\alpha A-\beta A^{2/3}-\gamma {\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}-\varepsilon {\frac {(A-2Z)^{2}}{A}}}$

Поправка на влияние чётности

Вторая особенность — влияние чётности ${\displaystyle Z}$ и ${\displaystyle A-Z}$ на устойчивость ядер, а следовательно, на энергию связи. Можно разбить все ядра на три группы:

• (1) чётно-чётные ядра ( ${\displaystyle A}$ — чётное )
• (2) нечётно-чётные и чётно-нечётные ( ${\displaystyle A}$ — нечётное )
• (3) нечётно-нечётные ( ${\displaystyle A}$ — чётное )

Увеличение или уменьшение числа протонов или нейтронов на единицу скачком переводит ядро из одной группы в другую, соответственно скачком должна при этом изменяться энергия связи. Этот экспериментальный факт учитывается введением в формулу члена ${\displaystyle \delta }$ следующим образом:

${\displaystyle \delta ={\begin{cases}+\left|\delta \right|&(1)\\0&(2)\\-\left|\delta \right|&(3)\end{cases}}}$

Было экспериментально установлено что значение ${\displaystyle \delta }$ зависит от массового числа: ${\displaystyle \left|\delta \right|=\chi A^{k}}$ . Значение ${\displaystyle k}$ обычно берут либо ${\displaystyle -1/2}$ , либо ${\displaystyle -3/4}$ .

Таким образом, в целом эмпирическую формулу для энергии связи записывают:

${\displaystyle E_{c}=\alpha A-\beta A^{2/3}-\gamma {\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}-\varepsilon {\frac {(A-2Z)^{2}}{A}}+\delta }$

Значения коэффициентов формулы Вайцзеккера

Коэффициенты получают при статистической обработке экспериментальных данных, причём необходимо отметить, что их значения постоянно уточняются. Коэффициенты имеют следующие значения в МэВ :

• ${\displaystyle \alpha =15,56}$
• ${\displaystyle \beta =17,23}$
• ${\displaystyle \gamma =0,71}$
• ${\displaystyle \varepsilon =23.7}$
• ${\displaystyle \chi =12}$ для ${\displaystyle k=-1/2}$ и ${\displaystyle \chi =34}$ для ${\displaystyle k=-3/4}$

Энергия деформации и деление ядра

Если на ядро действует какое-либо малое возмущение, возбуждая внутренние вибрационные степени свободы , то площадь поверхности ядра, представляемого жидкой каплей, увеличивается. Соответственно изменяется и его энергия связи. Стоит отметить, что объём несжимаемой капли не изменяется, поэтому первый член в формуле Вайцзеккера не вносит дополнительного вклада в энергию ядра. Дальнейшая эволюция ядра будет зависеть от конкуренции короткодействующих ядерных сил притяжения и дальнодействующих сил кулоновского отталкивания : если преобладают ядерные силы, то ядро опять «схлопнется» в сферическую каплю; если преобладают кулоновские силы — произойдёт деление ядра .

Для количественного рассмотрения процесса воспользуемся формулой Вайцзеккера. Достаточно рассмотреть второй и третий члены, ответственные за поверхностное натяжения и кулоновское отталкивание, так как именно они вносят существенный вклад в изменение энергии деформированного ядра.

Поверхностная энергия ядра задаётся формулой:

${\displaystyle E_{surf}=\tau S=\tau \int {\frac {R^{3}\,d\Omega }{({\vec {n}}{\vec {R}})}},}$

где ${\displaystyle \tau }$ — коэффициент поверхностного натяжения , а площадь ${\displaystyle S}$ в общем случае определяется поверхностным интегралом . Если оставить только члены квадрупольного разложения формы поверхности по сферическим функциям , что хорошо приемлемо для малых деформаций, то для площади поверхности (которая будет эллипсоидом ) получается простая формула:

${\displaystyle S=S_{0}\left(1+{\frac {2}{5}}\alpha _{2}^{2}\right).}$

Здесь ${\displaystyle \alpha _{2}^{2}}$ — значение квадрупольной деформации (коэффициент разложения); ${\displaystyle S_{0}=4\pi R_{0}^{2}=4\pi r_{0}^{2}A^{2/3}}$ — площадь сферического ядра радиуса ${\displaystyle R_{0}=r_{0}A^{1/3}}$ (для этой эмпирической формулы радиуса ядра обычно принимают ${\displaystyle r_{0}\approx 1,2}$ фм ). Тогда энергия поверхностного натяжения деформированного ядра записывается как

${\displaystyle E_{surf}=\tau S_{0}\left(1+{\frac {2}{5}}\alpha _{2}^{2}\right)=\beta A^{2/3}\left(1+{\frac {2}{5}}\alpha _{2}^{2}\right)=E_{surf}^{0}\left(1+{\frac {2}{5}}\alpha _{2}^{2}\right),}$

где ${\displaystyle \beta =4\pi r_{0}^{2}\tau =17,23}$ МэВ — второй коэффициент формулы Вайцзеккера, ${\displaystyle E_{surf}^{0}}$ — поверхностная энергия недеформированного ядра.

Кулоновская энергия ядра также выражается через параметр квадрупольной деформации ${\displaystyle \alpha _{2}}$ :

${\displaystyle E_{Coul}=E_{Coul}^{0}\left(1-{\frac {1}{5}}\alpha _{2}^{2}\right)}$

с энергией сферического ядра как в формуле Вайцзеккера

${\displaystyle E_{Coul}^{0}={\frac {3}{5}}{\frac {(Ze)^{2}}{R}}=\gamma {\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}.}$

Теперь можно определить энергию деформации ядра через разность энергий состояний деформированного и сферического ядра:

${\displaystyle \Delta E=(E_{surf}+E_{Coul})-(E_{surf}^{0}+E_{Coul}^{0})={\frac {1}{5}}\alpha _{2}^{2}\,(2E_{surf}^{0}-E_{Coul}^{0}).}$

Анализ последней формулы показывает, что если

• ${\displaystyle 2E_{surf}^{0}>E_{Coul}^{0}}$ — то ядро устойчиво по отношению к малым деформациям,
• ${\displaystyle 2E_{surf}^{0}<E_{Coul}^{0}}$ — то ядро не устойчиво по отношению к малым деформациям.

Видно, что в этом подходе эволюция ядра определяется энергией поверхностного натяжения и кулоновской энергией в основном недеформированном состоянии.

Для качественных оценок часто вводят величину

${\displaystyle x={\frac {E_{Coul}^{0}}{2E_{surf}^{0}}}={\frac {Z^{2}/A}{48,53}}\,,}$

называемую параметром делимости . При ${\displaystyle x=1}$ жидкая капля становится неустойчивой и самопроизвольно делится за характерное ядерное время порядка 10 ⁻²² с. Существование ядер с ${\displaystyle Z^{2}/A>48,53}$ (т. н. остров стабильности ) объясняется существованием оболочек у деформированных ядер.

Область применения жидко-капельной модели

Формула Вайцзеккера позволяет вычислять энергию связи ядра по известным ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle Z}$ с точностью ~10 МэВ. При ${\displaystyle A\approx 100}$ это даёт относительную погрешность 10 ⁻² . Массу любого ядра можно вычислять с точностью 10 ⁻⁴ :

${\displaystyle M=Zm_{p}+(A-Z)m_{n}-\left[\alpha A-\beta A^{2/3}-\gamma {\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}-\varepsilon {\frac {(A-2Z)^{2}}{A}}+\delta \right]/c^{2},}$

где ${\displaystyle m_{p}}$ — масса протона , ${\displaystyle m_{n}}$ — масса нейтрона , ${\displaystyle c}$ — скорость света .

Так как капельная модель является макроскопической теорией, то она не учитывает микроскопического строения ядра, например, распределения ядерных оболочек . Поэтому формула Вайцзеккера плохо применима для магических ядер. В рамках капельной модели считается, что ядро должно делиться на два фрагмента равной массы, но это наблюдается лишь с вероятностью около 1 % (обычно один из осколков деления тяжёлых ядер стремится обладать магическим числом 50 или 82, то есть массы фрагментов будут различаться примерно в 1,5 раза). Также капельная модель непригодна для количественного описания спектров энергий возбуждённых состояний ядер.

См. также

• Атомное ядро
• Ядерные модели

Примечания

Ссылки

• (рус.) . Б.С. Ишханов , И.М. Капитонов, В.Н. Орлин, . . Дата обращения: 2010-28-05.
• (рус.) . С.Ю. Платонов, „Физика деления атомных ядер“ . . — Аудиолекция с презентацией. Дата обращения: 2010-28-05.