Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций .

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману , являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах ( интеграл Фреше ).

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений , а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ , и на нём определена измеримая функция ${\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ , где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ — борелевская ${\displaystyle \sigma }$ -алгебра на вещественной оси.

Определение 1. Пусть ${\displaystyle f}$ — индикатор некоторого измеримого множества, то есть ${\displaystyle f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)}$ , где ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ . Тогда интеграл Лебега функции ${\displaystyle f}$ по определению:

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{A}d\mu =\mu (A).}$

Определение 2. Пусть ${\displaystyle f}$ — простая функция , то есть ${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathbf {1} _{F_{i}}(x)}$ , где ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R} }$ , а ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}}$ — конечное разбиение ${\displaystyle X}$ на измеримые множества. Тогда

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})}$ .

Определение 3. Пусть теперь ${\displaystyle f}$ — неотрицательная функция, то есть ${\displaystyle f(x)\geqslant 0\;\forall x\in X}$ . Рассмотрим все простые функции ${\displaystyle \{f_{s}\}}$ , такие что ${\displaystyle f_{s}(x)\leqslant f(x)\;\forall x\in X}$ . Обозначим это семейство ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{f}}$ . Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от ${\displaystyle f}$ задаётся формулой:

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}}$

Наконец, если функция ${\displaystyle f}$ произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

${\displaystyle f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),}$

где

${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))}$ .

Определение 4. Пусть ${\displaystyle f}$ — произвольная измеримая функция. Тогда её интеграл задаётся формулой:

${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)}$ .

Определение 5. Пусть наконец ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

${\displaystyle \int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mathbf {1} _{A}(x)\,\mu (dx)}$ ,

где ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)}$ — индикатор-функция множества ${\displaystyle A}$ .

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле ${\displaystyle f(x)\equiv \chi _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)}$ , заданную на ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)}$ , где ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,1])}$ — борелевская σ-алгебра на ${\displaystyle [0,1]}$ , а ${\displaystyle m}$ — мера Лебега . Эта функция принимает значение ${\displaystyle 1}$ в рациональных точках и ${\displaystyle 0}$ в иррациональных . Легко увидеть, что ${\displaystyle f}$ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

${\displaystyle \int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.}$

Действительно, мера отрезка ${\displaystyle [0,1]}$ равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно , то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна ${\displaystyle 1-0=1}$ .

Замечания

• Так как ${\displaystyle |f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)}$ , измеримая функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle |f(x)|}$ интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
• В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой ;
• Если функция определена на вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и измерима, то она называется случайной величиной , а её интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Свойства

• Интеграл Лебега линеен, то есть

  ${\displaystyle \int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)}$ ,

где ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ — произвольные константы;

• Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если ${\displaystyle 0\leqslant f(x)\leqslant g(x)}$ почти всюду , ${\displaystyle f(x)}$ измерима и ${\displaystyle g(x)}$ интегрируема, то интегрируема и ${\displaystyle f(x)}$ , и более того

  ${\displaystyle 0\leqslant \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leqslant \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)}$ ;

• Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ почти всюду , то

  ${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)}$ .

Интегральные суммы Лебега

Интегральными суммами Лебега для функции ${\displaystyle f(x)}$ и меры ${\displaystyle \mu }$ называются суммы вида

${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\cdot \mu \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}}$ ,

где ${\displaystyle y_{1}<y_{2}<\dots <y_{N}}$ — разбиение области значений функции ${\displaystyle f(x)}$ .

Каждая такая сумма является интегралом Лебега от простой функции, аппроксимирующей функцию ${\displaystyle f(x)}$ - в каждой точке она принимает одно из значений ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}}$ (а именно, ${\displaystyle y_{k}}$ на подмножестве ${\displaystyle \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}}$ ). Поэтому, если функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема по Лебегу, эти суммы сходятся к её интегралу, когда ${\displaystyle y_{1}\rightarrow -\infty }$ , ${\displaystyle y_{N}\rightarrow +\infty }$ , и диаметр разбиения ${\displaystyle \delta =\max\{y_{2}-y_{1},\dots ,y_{N}-y_{N-1}\}}$ стремится к нулю.

Особенность интегральных сумм Лебега состоит в том, что для их вычисления не требуется вычислять значения интегрируемой функции — нужна на самом деле лишь функция распределения её значений:

${\displaystyle F(y)=\mu \{x\in X:f(x)\leqslant y\}}$

Тогда интегральные суммы Лебега для функции ${\displaystyle f(x)}$ и меры ${\displaystyle \mu }$ становятся интегральными суммами Римана-Стилтьеса для функции ${\displaystyle y}$ и функции распределения ${\displaystyle F(y)}$ :

${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}(F(y_{k+1})-F(y_{k}))\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }ydF(y)}$ .

Если функция распределения ${\displaystyle F(y)}$ имеет плотность: ${\displaystyle dF(y)=\rho (y)dy}$ , то интегральные суммы Лебега преобразуются в интегральные суммы Римана :

${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\rho (y_{k})(y_{k+1}-y_{k})\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }y\rho (y)dy}$ .

Поскольку функции распределения естественным образом возникают в теории вероятностей, статистической и квантовой физике, то и интегральные суммы Лебега фактически используются для вычисления интеграла Лебега, в основном, в приложениях этих теорий. Чаще же всего интеграл Лебега вычисляется как равный ему интеграл Римана (в тех случаях, когда последний имеет смысл).

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций

• Теорема Леви о монотонной сходимости
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Лемма Фату

Примечания

Литература

• Колмогоров А.Н. , Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М. : Наука , 1976 . — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука , 1980 . — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М. : Физматлит , 1961 . — 436 с.

• Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е. — М. : , 1961 . — 173 с.