Точное нахождение первообразной (или интеграла ) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной . Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций .

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается в введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции , или к нему сводящемуся.

Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл ${\displaystyle \int F(x)dx.}$ Сделаем подстановку ${\displaystyle x=\varphi (t),}$ где ${\displaystyle \varphi (t)}$ — функция, имеющая непрерывную производную .

Тогда ${\displaystyle dx=\varphi '(t)\cdot dt}$ и на основании свойства неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

${\displaystyle \int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)dt.}$

Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функция вида ${\displaystyle v(u(x))}$ интегрируется следующим образом:

${\displaystyle \int v(u(x))dx=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{d(u(x))/dx}}=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{u'_{x}}}.}$

Пример: Найти ${\displaystyle \int x{\sqrt {x-3}}\,dx}$

Решение: Пусть ${\displaystyle {\sqrt {x-3}}=t}$ , тогда ${\displaystyle x-3=t^{2},x=3+t^{2},dx=2tdt}$ .

${\displaystyle \int x{\sqrt {x-3}}\,dx=\int (t^{2}+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^{4}+3t^{2})dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt={\frac {2}{5}}t^{5}+{\frac {6}{3}}t^{3}+C={\frac {2}{5}}{\sqrt {x-3}}^{5}+2{\sqrt {x-3}}^{3}+C}$

Вообще различные подстановки часто используются для вычисления интегралов, содержащих радикалы. Другим примером может служить подстановка Абеля

${\displaystyle t={d({\sqrt {x^{2}+px+q}}) \over dx},}$

применяемая для вычисления интегралов вида

${\displaystyle \int {dx \over (x^{2}+px+q)^{m \over 2}},}$

где m натуральное число . Иногда применяются подстановки Эйлера . См. также об интегрировании дифференциального бинома .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Пусть требуется проинтегрировать выражение ${\displaystyle R(\sin x,\cos x)}$ , где R является рациональной функцией от двух переменных. Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки:

• если ${\displaystyle R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)}$ , то применяется подстановка ${\displaystyle t=\cos x}$ ;
• если ${\displaystyle R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)}$ , то применяется подстановка ${\displaystyle t=\sin x}$ ;
• если ${\displaystyle R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)}$ , то применяется подстановка ${\displaystyle t=\operatorname {tg} x}$ .

Частный случай этого правила:

${\displaystyle \int \sin ^{m}x\cdot \cos ^{n}x\cdot dx}$

Выбор подстановки производится следующим образом:

• если m нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ${\displaystyle \cos x=t}$ ;
• если n нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ${\displaystyle \sin x=t}$ ;
• если же и n , и m чётные — удобнее сделать подстановку ${\displaystyle \operatorname {tg} x=t}$ .

Пример: ${\displaystyle I=\int \sin ^{2}x\cdot \cos x\cdot dx}$ .

Решение: Пусть ${\displaystyle \sin x=t}$ ; тогда ${\displaystyle \cos x\cdot dx=dt}$ и ${\displaystyle I=\int t^{2}dt={\frac {t^{3}}{3}}+C={\frac {\sin ^{3}x}{3}}+C}$ , где C — любая константа.

Интегрирование дифференциального бинома

Для вычисления интеграла от дифференциального бинома

${\displaystyle I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,}$

где a , b — действительные числа , a m , n , p — рациональные числа , также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:

• ${\displaystyle p}$ — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle x=t^{k}}$ , ${\displaystyle k}$ — общий знаменатель дробей ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ ;
• ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}}$ — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle a+bx^{n}=t^{s}}$ , ${\displaystyle s}$ — знаменатель дроби ${\displaystyle p}$ .
• ${\displaystyle p+{\frac {m+1}{n}}}$ — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle ax^{-n}+b=t^{s}}$ , ${\displaystyle s}$ — знаменатель дроби ${\displaystyle p}$ .

В остальных случаях, как показал П. Л. Чебышёв в 1853 году , этот интеграл не выражается в элементарных функциях .

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

${\displaystyle \int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.}$

Или:

${\displaystyle \int u\cdot v'\cdot dx=u\cdot v-\int v\cdot u'\cdot dx.}$

В частности, с помощью n -кратного применения этой формулы находится интеграл

${\displaystyle \int P_{n+1}(x)e^{x}\,dx,}$

где ${\displaystyle P_{n+1}(x)}$ — многочлен ${\displaystyle (n+1)}$ -й степени.

Пример: Найти интеграл ${\displaystyle \int x\cdot \ln x\,dx}$ .

Решение: Чтобы найти данный интеграл применим метод интегрирования по частям, для этого будем полагать, что ${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow \displaystyle {du={\frac {dx}{x}}}}$ и ${\displaystyle dv=xdx\Rightarrow \int dv=\int xdx\Rightarrow v={\frac {x^{2}}{2}}}$ , тогда согласно формуле интегрирования по частям получаем ${\displaystyle \int x\cdot \ln xdx={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {1}{2}}\int x^{2}\cdot {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C}$

Интегрирование рациональных дробей

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь ${\displaystyle {\tfrac {P(x)}{Q(x)}}}$ , знаменатель которой разложен на множители

${\displaystyle Q(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})^{k_{i}}\cdot \prod _{j=1}^{m}(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{s_{j}}}$

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k_{n}}{\frac {A_{ij}}{(x-x_{i})^{j}}}}+\sum _{l=1}^{m}{\sum _{t=1}^{s_{m}}{\frac {\alpha _{lt}+\beta _{lt}x}{(x^{2}+p_{l}x+q_{l})^{t}}}}}$

где ${\displaystyle A_{ij},\alpha _{lt},\beta _{lt}}$ — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов .

Пример : ${\displaystyle \int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx.}$

Решение: Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

${\displaystyle {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {2x+3}{(x-3)(x+3)}}={\frac {\alpha }{(x-3)}}+{\frac {\beta }{(x+3)}}}$

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

${\displaystyle \alpha (x+3)+\beta (x-3)=2x+3}$

${\displaystyle (\alpha +\beta )x+3\alpha -3\beta =2x+3}$

Следовательно ${\displaystyle {\begin{cases}\alpha +\beta =2\\3\alpha -3\beta =3\\\end{cases}},{\begin{cases}\alpha ={\frac {3}{2}}\\\beta ={\frac {1}{2}}\\\end{cases}}}$

Тогда

${\displaystyle {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {\frac {3}{2}}{x-3}}+{\frac {\frac {1}{2}}{x+3}}}$

Теперь легко вычислить исходный интеграл ${\displaystyle \int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx={\frac {3}{2}}\int {\frac {dx}{x-3}}+{\frac {1}{2}}\int {\frac {dx}{x+3}}={\frac {3}{2}}\ln |x-3|+{\frac {1}{2}}\ln |x+3|+C={\frac {1}{2}}\ln |(x-3)^{3}(x+3)|+C}$

Интегрирование элементарных функций

Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры .

См. также

• Символьное интегрирование
• Формулы Фруллани
• Универсальная тригонометрическая подстановка
• Подстановки Эйлера

Примечания

Ссылки

• — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• — символьные вычисления онлайн