Преобразование Хартли (Hartley transform) — интегральное преобразование , тесно связанное с преобразованием Фурье , но в отличие от последнего трансформирует одни вещественные функции в другие вещественные же функции. Преобразование было предложено в качестве альтернативы преобразованию Фурье Р. Хартли в 1942 году . Преобразование Хартли является одним из многих известных типов преобразований Фурье. Преобразование Хартли может быть и обратным.

Дискретный вариант преобразования Хартли был представлен (англ.) ( в 1983 году .

Определение

Прямое преобразование

Преобразование Хартли ${\displaystyle H(\omega )}$ рассчитывается по формуле

${\displaystyle H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t,}$

где

${\displaystyle {\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+{\frac {\pi }{4}})={\sqrt {2}}\cos(t-{\frac {\pi }{4}})}$ — ядро Хартли.

Обратное преобразование

Обратное преобразование получается по принципу инволюции :

${\displaystyle f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}}$

Уточнения

• Вместо того, чтобы использовать одинаковые формулы для прямого и обратного преобразования, можно ввести коэффициент ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$ для обратного и вынести тот же коэффициент из прямого преобразования Хартли. Этот способ называется асимметричной нормализацией ;
• Можно использовать коэффициент ${\displaystyle 2\pi \nu t}$ вместо ${\displaystyle \omega t}$ , полностью опустив коэффициент ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$ ;
• Можно использовать вычитание косинуса и синуса вместо их суммы .

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Хартли отличается от преобразования Фурье выбором ядра .

В преобразовании Фурье используется экспоненциальное ядро

${\displaystyle \exp \left({-i\omega t}\right)=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t),}$

где

${\displaystyle i}$ — мнимая единица .

Эти два преобразования тесно связаны, и если они имеют одинаковую нормализацию, то

${\displaystyle F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-i{\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}}$

Для вещественных функций ${\displaystyle f(t)}$ преобразование Хартли превращается в комплексное преобразование Фурье:

${\displaystyle \{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1+i)\},}$

где

${\displaystyle \Re }$ и ${\displaystyle \Im }$ — действительная и мнимая часть функции соответственно.

Свойства

Преобразование Хартли — вещественный симметричный унитарный линейный оператор

Существует так же аналог теоремы свёртки : если две функции ${\displaystyle x(t)}$ и ${\displaystyle y(t)}$ имеют преобразования Хартли ${\displaystyle X(t)}$ и ${\displaystyle Y(t)}$ соответственно, то их свёртка ${\displaystyle z(t)=x*y}$ будет иметь преобразование

${\displaystyle Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega )\left[Y(\omega )+Y(-\omega )\right]+X(-\omega )\left[Y(\omega )-Y(-\omega )\right]\right)/2}$

Как и преобразование Фурье, преобразование Хартли будет являться чётной или нечётной функцией в зависимости от характера преобразуемой функции.

Cas

Свойства ядра Хартли вытекают из свойств тригонометрических функций . Так как

${\displaystyle {\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4),}$

то

${\displaystyle 2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(-b)}$ и

${\displaystyle {\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)}$

Производная ядра равна

${\displaystyle {\mbox{cas}}'(a)={\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}a}}{\mbox{cas}}(a)=\cos(a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)}$

Литература

• РОНАЛЬД Н. БРЕЙСУЭЛЛ Преобразование Фурье от 24 мая 2017 на Wayback Machine
• Hartley, R. V. L., от 2 июня 2008 на Wayback Machine , 30 , 144—150 (1942).
• Bracewell, R. N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986) (also translated into Japanese and Polish)
• Bracewell, R. N., The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (also translated into German and Russian)
• Bracewell, R. N., , 82 (3), 381—387 (1994).
• Millane, R. P., , Proc. IEEE 82 (3), 413—428 (1994).
• Villasenor, John D., , Proc. IEEE 82 (3), 391—399 (1994).