Мера Жордана
— один из способов формализации понятия
длины
,
площади
и
n
{\displaystyle n}
-мерного объёма
в
n
{\displaystyle n}
-мерном
евклидовом пространстве
.
Определение
Меру Жордана можно определить как единственную
конечно-аддитивную меру
, определённую на
кольце многогранников
и удовлетворяющую следующим условиям:
Меры
конгруэнтных
многогранников равны.
Мера
единичного куба
равна единице.
Максимальное кольцо множеств, на которое мера Жордана продолжается единственным образом, называется
кольцом квадрируемых множеств
.
Построение
Множество измеримо по Жордану если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана.
Мера Жордана
m
Δ
{\displaystyle m\Delta }
параллелепипеда
Δ
=
∏
i
=
1
n
[
a
i
,
b
i
]
{\displaystyle \Delta =\prod _{i=1}^{n}[a_{i},\;b_{i}]}
в
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
определяется как произведение
m
Δ
=
∏
i
=
1
n
(
b
i
−
a
i
)
.
{\displaystyle m\Delta =\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}
Для ограниченного множества
E
⊂
R
n
{\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}
определяются:
внешняя мера
Жордана
m
e
E
=
inf
∑
k
=
1
N
m
Δ
k
,
⋃
k
Δ
k
⊃
E
{\displaystyle m_{e}E=\inf \sum _{k=1}^{N}m\Delta _{k},\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\supset E}
внутренняя мера Жордана
m
i
E
=
sup
∑
k
=
1
N
m
Δ
k
,
⋃
k
Δ
k
⊂
E
,
Δ
k
∩
Δ
m
=
∅
{\displaystyle m_{i}E=\sup \sum _{k=1}^{N}m\Delta _{k},\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\subset E,\quad \Delta _{k}\cap \Delta _{m}=\varnothing }
, если
k
≠
m
,
{\displaystyle k\neq m,}
здесь
Δ
1
,
Δ
2
,
…
,
Δ
N
{\displaystyle \Delta _{1},\;\Delta _{2},\;\ldots ,\;\Delta _{N}}
— параллелепипеды описанного выше вида.
Множество
E
{\displaystyle E}
называется
измеримым по Жордану
(или
квадрируемым
), если
m
e
E
=
m
i
E
{\displaystyle m_{e}E=m_{i}E}
. В этом случае мера Жордана равна
m
E
=
m
e
E
=
m
i
E
{\displaystyle mE=m_{e}E=m_{i}E}
.
Свойства
Множества, измеримые по Жордану, образуют
кольцо
, на котором мера Жордана является
конечно-аддитивной мерой
.
Мера Жордана инвариантна относительно
движений
евклидова пространства.
Множество
F
{\displaystyle F}
измеримо по Жордану, если для любого
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
существует пара многогранников
P
{\displaystyle P}
и
Q
{\displaystyle Q}
таких, что
P
⊂
F
⊂
Q
{\displaystyle P\subset F\subset Q}
и
m
P
+
ε
>
m
Q
{\displaystyle mP+\varepsilon >mQ}
.
Ограниченное множество
E
⊂
R
n
{\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}
измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его
граница
имеет нулевую меру Жордана (или, что равносильно, когда его граница имеет нулевую
меру Лебега
). В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа
гладких кривых
и точек, измеримы по Жордану. Тем не менее существуют множества, ограниченные простой замкнутой
кривой Жордана
, которые не измеримы по Жордану.
Внешняя мера Жордана одна и та же для
E
{\displaystyle E}
и
E
¯
{\displaystyle {\bar {E}}}
(замыкания множества
E
{\displaystyle E}
) и равна
мере Бореля
E
¯
{\displaystyle {\bar {E}}}
.
История
Приведённое понятие меры ввели
Пеано
(
1887
) и
Жордан
(
1892
). Впоследствии понятие было обобщено
Лебегом
на более широкий класс множеств.
Пример множества, неизмеримого по Жордану
Рассмотрим меру Жордана
m
{\displaystyle m}
, определённую на
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
. Пусть
A
=
[
0
,
1
]
=
{
x
∈
R
:
0
⩽
x
⩽
1
}
{\displaystyle A=\left[0,1\right]=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x\leqslant 1\}}
— множество точек единичного отрезка.,
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
— подмножество рациональных точек множества
A
{\displaystyle A}
, тогда
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
— неизмеримое по Жордану множество, так как
m
e
Q
=
1
,
m
i
Q
=
0
,
m
e
Q
≠
m
i
Q
{\displaystyle m_{e}\mathbb {Q} =1,\;m_{i}\mathbb {Q} =0,\;m_{e}\mathbb {Q} \neq m_{i}\mathbb {Q} }
, то есть верхняя и нижняя мера Жордана не совпадают (хотя это множество
измеримо по Лебегу
).
Литература
Колмогоров А.Н.
,
Фомин С.В.
Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. —
М.
:
Наука
,
1976
. — 544 с.
Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д.
Сборник задач по математическому анализу, глава 3;
Peano, G.
Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
Jordan, C.
Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;
См. также