Боре́левская си́гма-а́лгебра — минимальная сигма-алгебра , содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые ). Эти подмножества также называются борелевскими.

Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает вещественная прямая .

Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства . В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Названа в честь Эмиля Бореля .

Связанные понятия

• Борелевское пространство — топологическое пространство , снабжённое борелевской сигма-алгеброй.
• Борелева (борелевская) функция — отображение одного топологического пространства в другое (обычно оба суть пространства вещественных чисел ), для которого прообраз любого борелевского множества есть борелевское множество.
• Мера Бореля — мера определённая на всех открытых (а значит, и на всех борелевских) множествах топологического пространства.

Свойства

• Всякое борелевское множество на отрезке является измеримым относительно меры Лебега , но обратное неверно.

Пример измеримого по Лебегу, но не борелевского множества

Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое подмножество может не быть борелевским.

Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{2}}(x+c(x))}$ на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ , где ${\displaystyle c(x)}$ — канторова лестница . Эта функция монотонна и непрерывна , как следствие — измерима. Также измерима обратная к ней функция ${\displaystyle g}$ . Мера образа канторова множества равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ , так как мера образа его дополнения равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ . Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество ${\displaystyle A}$ . Тогда его прообраз ${\displaystyle D=f^{-1}(A)}$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе ${\displaystyle A}$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества ${\displaystyle D}$ при измеримом отображении ${\displaystyle g}$ ).

Литература

• В. Г. Кановей, В. А. Любецкий. . — МЦНМО, 2010. — 320 с. — ISBN 78-5-94057-683-9.